Derivations en Premiere specialite maths : cours complet

mesurer une variation instantanée ;
déterminer la pente d’une tangente ;
étudier le sens de variation d’une fonction ;
trouver un extremum ;
résoudre des problèmes d’optimisation.

Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :

\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Interprétation :

c’est le coefficient directeur de la sécante ;
c’est une variation moyenne.

On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\) tend vers un nombre réel unique quand \(h\) tend vers \(0\).

Ce nombre est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\):

\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\);
vitesse instantanée si \(f\) modélise une position ;
taux de variation instantané.

La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation :

\[ y=f(a)+f'(a)(x-a) \]

La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est la fonction qui à \(x\) associe \(f'(x)\), quand ce nombre dérivé existe.

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Fonction } f(x) & \text{Dérivée } f'(x) & \text{Domaine de dérivabilité} \\ \hline k & 0 & \mathbb{R} \\ \hline x & 1 & \mathbb{R} \\ \hline x^n \; (n\in\mathbb{N}^*) & n x^{n-1} & \mathbb{R} \\ \hline \dfrac{1}{x} & -\dfrac{1}{x^2} & \mathbb{R}\setminus\{0\} \\ \hline \sqrt{x} & \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & ]0,+\infty[ \\ \hline \end{array} \]

\[ |x| \text{ n’est pas dérivable en } 0 \]

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, alors :

\[ (ku)'=ku' \qquad\qquad (u+v)'=u'+v' \]

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

Si \(v\neq 0\):

\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]

Sous condition de dérivabilité :

\[ [f(ax+b)]'=a\,f'(ax+b) \]

En particulier :

\[ (ax+b)'=a \]

\[ \bigl((ax+b)^n\bigr)'=na(ax+b)^{n-1} \]

\[ \left(\frac{1}{ax+b}\right)'=\frac{-a}{(ax+b)^2} \]

\[ \bigl(\sqrt{ax+b}\bigr)'=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}} \]

Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\):

si \(f'(x)>0\) sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\);
si \(f'(x)<0\) sur \(I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\);
si \(f'(x)=0\) sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).

déterminer le domaine de définition ;
calculer \(f'(x)\);
résoudre \(f'(x)=0\);
étudier le signe de \(f'(x)\);
en déduire les variations de \(f\).

Si \(f\) admet un extremum local en \(a\) et si \(f\) est dérivable en \(a\), alors :

\[ f'(a)=0 \]

Si \(f'\) change de signe en \(a\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\).

\(+\) puis \(-\): maximum local ;
\(-\) puis \(+\): minimum local.

\(f'(a)\) est un nombre.
\(f'\) est une fonction.
Pour une tangente, il faut connaître \(f(a)\) et \(f'(a)\).
Pour les variations, on étudie le signe de \(f'\).

Ne pas confondre \(f(a)\) et \(f'(a)\).
\(f'(a)=0\) ne suffit pas toujours à prouver un extremum.
Une fonction peut être définie en un point sans être dérivable en ce point.
Pour un quotient, penser à exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.

\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

\[ y=f(a)+f'(a)(x-a) \]

\[ (ku)'=ku' \qquad (u+v)'=u'+v' \]

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]

\[ [f(ax+b)]'=a\,f'(ax+b) \]

\[ f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ croissante} \qquad f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ décroissante} \]

Dérivation

Accroche

Idée directrice

Taux de variation et nombre dérivé

Taux de variation

Nombre dérivé

Interprétations de \(f'(a)\)

Tangente à une courbe

Équation de la tangente

Fonction dérivée et dérivées usuelles

Fonction dérivée

Dérivées usuelles

À connaître aussi

Règles de dérivation

Règles de base

Composition avec \(ax+b\)

Dérivée et variations

Lien fondamental

Méthode pour dresser un tableau de variations

Extremums

À retenir

Lecture du signe de \(f'\)

Réflexes et pièges

Réflexes

Pièges classiques

Formulaire flash

Tout tenir en mémoire