Exponentielle en Premiere specialite maths : cours complet

définir la fonction exponentielle ;
utiliser les règles de calcul sur les exponentielles ;
connaître son signe, ses limites, ses variations et sa courbe ;
dériver une expression contenant une exponentielle ;
résoudre des équations et des inéquations du type \(e^{u(x)}=e^{v(x)}\);
étudier une fonction du type \(e^{ax+b}\) ou \(u(x)e^{v(x)}\);
modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle ;
relier \(e^{an+b}\) aux suites géométriques.

Il existe une unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant :

\[ f'(x)=f(x) \qquad\text{et}\qquad f(0)=1 \]

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle. On la note :

\[ \exp(x) \qquad\text{ou plus simplement}\qquad e^x \]

On note :

\[ e=\exp(1) \]

Donc, pour tout réel \(x\):

\[ \exp(x)=e^x \]

Valeur approchée :

\[ e\approx 2{,}71828 \]

\[ e^0=1 \qquad\qquad e^1=e \]

Pour tous réels \(a\) et \(b\):

\[ e^{a+b}=e^a\times e^b \]

Pour tous réels \(a\) et \(b\):

\[ e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b} \]

\[ e^{-a}=\frac{1}{e^a} \]

\[ e^a\times e^{-a}=1 \]

Pour tout entier relatif \(n\):

\[ e^{na}=\bigl(e^a\bigr)^n \]

\[ e^{a+b}\neq e^a+e^b \]

\[ e^{-a}\neq -e^a \]

Pour tout réel \(x\):

\[ e^x>0 \]

La fonction exponentielle ne s'annule donc jamais.

La fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

\[ \bigl(e^x\bigr)'=e^x \]

Comme \(e^x>0\) pour tout réel \(x\), on a :

\[ \bigl(e^x\bigr)'>0 \]

Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

\[ \lim_{x\to -\infty} e^x = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty \]

La droite d'équation :

\[ y=0 \]

est une asymptote horizontale à la courbe de \(e^x\) quand \(x\to -\infty\).

Comme :

\[ e^0=1 \qquad\text{et}\qquad (e^x)'_{\,x=0}=1 \]

la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\) a pour équation :

\[ y=x+1 \]

Pour tous réels \(u\) et \(v\):

\[ e^u=e^v \Longleftrightarrow u=v \]

\[ e^u<e^v \Longleftrightarrow u<v \]

\[ e^u>e^v \Longleftrightarrow u>v \]

Comme \(e^0=1\), on a pour tout réel \(u\):

\[ e^u>1 \Longleftrightarrow u>0 \]

\[ e^u=1 \Longleftrightarrow u=0 \]

\[ e^u<1 \Longleftrightarrow u<0 \]

\[ e^{u(x)}-1 \]

a le même signe que \(u(x)\).

\(e^{u(x)}=0\) n'a aucune solution.
Si \(k\leq 0\), l'équation \(e^{u(x)}=k\) n'a aucune solution.
Pour résoudre \(e^{u(x)}=e^{v(x)}\), on compare les exposants.
Pour résoudre \(e^{u(x)}>1\), on étudie le signe de \(u(x)\).

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(e^{u(x)}\) est dérivable sur \(I\) et :

\[ \bigl(e^{u(x)}\bigr)'=u'(x)e^{u(x)} \]

\[ \bigl(e^{ax+b}\bigr)'=ae^{ax+b} \]

\[ \bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x} \]

\[ \bigl(e^{x^2}\bigr)'=2xe^{x^2} \]

\[ \bigl((mx+p)e^{u(x)}\bigr)'=m e^{u(x)}+(mx+p)u'(x)e^{u(x)} \]

Dans une dérivée contenant une exponentielle, on factorise souvent \(e^{u(x)}\), car :

\[ e^{u(x)}>0 \]

Cela permet d'étudier le signe plus facilement.

Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(x\):

\[ e^{ax+b}>0 \]

Soit \(f(x)=e^{ax+b}\).

Sa dérivée est :

\[ f'(x)=ae^{ax+b} \]

Comme \(e^{ax+b}>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(a\).

Donc :

si \(a>0\), \(f\) est strictement croissante ;
si \(a<0\), \(f\) est strictement décroissante ;
si \(a=0\), \(f\) est constante.

Pour la fonction \(x\mapsto e^x\), la tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation :

\[ y=e^a+e^a(x-a) \]

Quand une fonction contient une exponentielle :

on dérive ;
on factorise l'exponentielle si possible ;
on utilise le fait que l'exponentielle est strictement positive ;
on ramène l'étude du signe à une expression plus simple.

Si :

\[ f'(x)=\bigl(ax+b\bigr)e^{u(x)} \]

alors \(f'(x)\) a le même signe que \(ax+b\), puisque :

\[ e^{u(x)}>0 \]

Toute l'étude des variations se ramène donc au signe de \(ax+b\).

Une évolution exponentielle s'écrit souvent sous la forme :

\[ f(t)=Ce^{kt} \qquad\text{avec } C>0 \]

si \(k>0\), il s'agit d'une croissance exponentielle ;
si \(k<0\), il s'agit d'une décroissance exponentielle ;
si \(k=0\), la fonction est constante.

\[ Ce^{kt}>0 \quad\text{pour tout } t \]

\[ \bigl(Ce^{kt}\bigr)'=Cke^{kt} \]

Donc, si \(C>0\), le signe de la dérivée est celui de \(k\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\), et pour tout entier naturel \(n\):

\[ e^{an+b}=e^b\bigl(e^a\bigr)^n \]

Donc la suite définie par :

\[ u_n=e^{an+b} \]

est une suite géométrique de :

\[ \text{raison } q=e^a \qquad\text{et premier terme } u_0=e^b \]

Comme \(e^a>0\):

si \(a>0\), alors \(e^a>1\) et la suite est croissante ;
si \(a<0\), alors \(0<e^a<1\) et la suite est décroissante ;
si \(a=0\), alors la suite est constante.

Ne jamais écrire \(e^{a+b}=e^a+e^b\).
Ne jamais écrire \(e^{-a}=-e^a\).
Ne pas oublier que \(e^x>0\) pour tout réel \(x\).
L'équation \(e^{u(x)}=0\) n'a jamais de solution.
Pour résoudre \(e^{u(x)}=e^{v(x)}\), on compare les exposants.
Pour une étude de signe, penser à factoriser par l'exponentielle.

\[ (e^x)'=e^x \]

\[ \bigl(e^{u(x)}\bigr)'=u'(x)e^{u(x)} \]

\[ e^{a+b}=e^ae^b \qquad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b} \qquad e^{-a}=\frac{1}{e^a} \]

\[ e^x>0 \qquad \lim_{x\to -\infty}e^x=0 \qquad \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty \]

\[ e^u=e^v \Longleftrightarrow u=v \]

\[ e^u>1 \Longleftrightarrow u>0 \qquad e^u<1 \Longleftrightarrow u<0 \]

\[ e^{an+b}=e^b\bigl(e^a\bigr)^n \]