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BAC 2026 • Fiches de cours

Géométrie

Vecteurs, repères, droites et configurations utiles.

Il faut savoir :

Cours de Premiere specialite maths sur la geometrie : vecteurs, reperes, droites et configurations utiles.

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Accroche

Cap du chapitre

  • calculer avec des vecteurs en repère ;
  • utiliser une équation cartésienne de droite ;
  • reconnaître un vecteur normal et un vecteur directeur ;
  • calculer un produit scalaire de plusieurs façons ;
  • démontrer une orthogonalité ;
  • utiliser l’équation d’un cercle.

Repère orthonormé : l’essentiel

Coordonnées usuelles

Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), alors :

\[ \overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A} \]
\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées :

\[ I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Colinéarité et orthogonalité

Si \(\vec u\binom{x}{y}\) et \(\vec v\binom{x'}{y'}\), alors :

\[ \vec u \text{ et } \vec v \text{ colinéaires } \Longleftrightarrow xy'-yx'=0 \]
\[ \vec u \cdot \vec v = xx'+yy' \]
\[ \vec u \text{ et } \vec v \text{ orthogonaux } \Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0 \]

Droites : équation cartésienne, vecteur normal, vecteur directeur

Équation cartésienne d’une droite

Une droite \(d\) admet une équation cartésienne de la forme :

\[ ax+by+c=0 \]

avec \(a\) et \(b\) non tous les deux nuls.

Vecteur normal et vecteur directeur

Pour la droite \(ax+by+c=0\):

\[ \vec n\binom{a}{b} \]

est un vecteur normal,

et

\[ \vec u\binom{-b}{a} \]

est un vecteur directeur.

Équation d’une droite passant par \(A(x_A;y_A)\) et de vecteur normal \(\vec n\binom{a}{b}\)

\[ a(x-x_A)+b(y-y_A)=0 \]

ou encore :

\[ ax+by+c=0 \]

après développement.

Figure

Produit scalaire

Définition géométrique

Pour deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\):

\[ \vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta) \]

où \(\theta\) est l’angle entre les deux vecteurs.

Formule en coordonnées

Dans un repère orthonormé, si \(\vec u\binom{x}{y}\) et \(\vec v\binom{x'}{y'}\), alors :

\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy' \]

Orthogonalité

\[ \vec u\perp \vec v \Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0 \]
Figure

Identités à connaître

\[ \vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2 \]
\[ (\vec u+\vec v)^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2 \]
\[ (\vec u-\vec v)^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2 \]
\[ (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2 \]

Produit scalaire avec les longueurs

Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\):

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2} \]

Formule d’Al-Kashi

Dans un triangle \(ABC\), si \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\), alors :

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}) \]

Projection orthogonale et lieu géométrique

Projection orthogonale

Le projeté orthogonal de \(A\) sur une droite \(d\) est le point \(H\) de \(d\) tel que :

\[ AH \perp d \]

En repère :

  • \(H\) appartient à \(d\);
  • \(H\) appartient à la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \(d\).

On détermine donc \(H\) en résolvant un système de deux équations de droites.

Figure

Lieu géométrique fondamental

\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \]

signifie que \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont orthogonaux.

Donc l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \]

est le cercle de diamètre \([AB]\).

Cercles

Équation d’un cercle

Le cercle de centre \(C(x_0;y_0)\) et de rayon \(r\) a pour équation :

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \]

Reconnaître une équation de cercle

Si une équation s’écrit, après complétion du carré :

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \]

alors :

  • centre : \(C(x_0;y_0)\)
  • rayon : \(r\)
Figure

Réflexes et pièges

Réflexes

  • Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, chercher un produit scalaire nul.
  • Pour une droite \(ax+by+c=0\), penser tout de suite à :
\[ \vec n\binom{a}{b} \qquad\text{et}\qquad \vec u\binom{-b}{a} \]
  • Pour un projeté orthogonal, écrire l’équation de la droite perpendiculaire.
  • Pour un cercle, passer par la forme :
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \]

Pièges classiques

  • Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
  • La formule \(xx'+yy'\) n’est valable qu’en repère orthonormé.
  • Ne pas confondre vecteur normal et vecteur directeur.
  • Pour une équation cartésienne, \(a\) et \(b\) ne sont pas tous les deux nuls.

Formulaire flash

Tout ce qu’il faut savoir refaire vite

\[ \overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A} \]
\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
\[ I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]
\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy' \]
\[ \vec u\perp\vec v \Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0 \]
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2} \]
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}) \]
\[ ax+by+c=0 \quad\Longrightarrow\quad \vec n\binom{a}{b},\ \vec u\binom{-b}{a} \]
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \]