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BAC 2026 • Fiches de cours

Polynôme du second degré

Factorisation, discriminant, racines et variations.

Sur un trinôme du second degré, il faut savoir :

Cours de Premiere specialite maths sur les polynomes du second degre : discriminant, racines, factorisation et variations.

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Accroche

Idée clé du chapitre

  • reconnaître la forme utilisée ;
  • résoudre \(f(x)=0\);
  • factoriser si c’est possible ;
  • étudier le signe ;
  • lire le sommet, l’axe et les variations ;
  • choisir la bonne forme selon la question.

Définition et formes

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=ax^2+bx+c \qquad \text{avec } a\neq 0 \]
  • \(a\): coefficient du terme en \(x^2\)
  • \(b\): coefficient du terme en \(x\)
  • \(c\): terme constant

Les trois formes à connaître

Forme développée :

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

Forme factorisée :

\[ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \]

quand les racines réelles \(x_1\) et \(x_2\) existent.

Forme canonique :

\[ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \]

où le sommet de la parabole est \(S(\alpha,\beta)\).

Choisir la bonne forme

  • développée : calculs algébriques, discriminant ;
  • factorisée : racines, signe ;
  • canonique : sommet, axe de symétrie, variations, optimisation.

Racines et discriminant

Racine

Un réel \(r\) est une racine de \(f\) si :

\[ f(r)=0 \]

Autrement dit :

  • \(r\) est une solution de \(f(x)=0\);
  • \(r\) est un antécédent de \(0\);
  • graphiquement, la courbe coupe l’axe des abscisses en \(x=r\).

Discriminant

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), on pose :

\[ \Delta=b^2-4ac \]
  • si \(\Delta>0\), il y a deux racines réelles distinctes :
\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]
  • si \(\Delta=0\), il y a une racine double :
\[ x_0=\frac{-b}{2a} \]
  • si \(\Delta<0\), il n’y a pas de racine réelle.

Somme et produit des racines

Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(f\), alors :

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad\qquad x_1x_2=\frac{c}{a} \]

Factorisation

Selon le discriminant

Si \(\Delta>0\):

\[ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \]

Si \(\Delta=0\):

\[ f(x)=a(x-x_0)^2 \]

Si \(\Delta<0\):

\[ f(x) \text{ n’est pas factorisable sur } \mathbb{R} \]

Forme canonique, sommet, axe

Formules à connaître

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), on a :

\[ \alpha=-\frac{b}{2a} \qquad\qquad \beta=f(\alpha) \]

Donc :

\[ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \]

Et aussi :

\[ \beta=-\frac{\Delta}{4a} \]

Lecture géométrique

  • Sommet : \(S(\alpha,\beta)\)
  • Axe de symétrie : \(x=\alpha\)
  • Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut.
  • Si \(a<0\), la parabole est tournée vers le bas.
Figure

Signe d’un trinôme

Règle générale

  • si \(\Delta<0\), \(f(x)\) garde toujours le signe de \(a\);
  • si \(\Delta=0\), \(f(x)\) garde le signe de \(a\) et s’annule en \(x_0\);
  • si \(\Delta>0\), \(f(x)\) s’annule en \(x_1\) et \(x_2\), et son signe dépend de \(a\).

Cas \(\Delta>0\) et \(a>0\)

Figure

Cas \(\Delta>0\) et \(a<0\)

Figure

Cas \(\Delta=0\)

Si \(a>0\): [[FIGURE:/static/bac_2026/cours_figures/polynomes_second_degré/fig04.svg|Figure 4]]

Si \(a<0\), on remplace \(+\) par \(-\).

Variations

Selon le signe de \(a\)

  • si \(a>0\), \(f\) décroît puis croît : le sommet est un minimum ;
  • si \(a<0\), \(f\) croît puis décroît : le sommet est un maximum.

Cas \(a>0\)

Figure

Cas \(a<0\)

Figure

Réflexes et pièges

Réflexes

  • Pour résoudre \(f(x)=0\), commencer par le discriminant.
  • Pour le signe, chercher d’abord les racines puis le signe de \(a\).
  • Pour le sommet et les variations, passer à la forme canonique.
  • Pour une optimisation, la forme canonique est souvent la plus efficace.

Pièges classiques

  • Ne pas oublier que \(a\neq 0\).
  • Ne pas confondre \(\alpha\)(abscisse du sommet) et une racine.
  • Une fonction du second degré peut n’avoir aucune racine réelle.
  • Quand \(\Delta>0\), bien ordonner \(x_1<x_2\) avant de faire le signe.

Formulaire flash

Tout ce qu’il faut savoir refaire très vite

\[ f(x)=ax^2+bx+c \qquad\qquad \Delta=b^2-4ac \]

Si \(\Delta>0\):

\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]

Si \(\Delta=0\):

\[ x_0=\frac{-b}{2a} \]
\[ \alpha=-\frac{b}{2a} \qquad \beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a} \]
\[ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \]
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad x_1x_2=\frac{c}{a} \]