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BAC 2026 • Fiches de cours

Probabilités

Conditionnelles, arbres pondérés, espérance et variance.

On travaille sur un univers fini \(\Omega\). Il faut savoir :

Cours de Premiere specialite maths sur les probabilites : conditionnelles, arbres ponderes, esperance et variance.

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Accroche

Cap à garder pendant tout le chapitre

  • lire et manipuler les événements ;
  • utiliser une probabilité conditionnelle ;
  • lire et construire un arbre pondéré ;
  • appliquer la formule des probabilités totales ;
  • reconnaître une situation d’indépendance ;
  • modéliser une situation par une variable aléatoire ;
  • déterminer une loi, une espérance, une variance et un écart type.

Univers et événements

Vocabulaire de base

  • \(\Omega\): univers des issues.
  • \(A\): événement.
  • \(\overline{A}\): événement contraire de \(A\).
  • \(A \cap B\): \(A\) et \(B\).
  • \(A \cup B\): \(A\) ou \(B\).
  • Deux événements sont incompatibles si \(A \cap B = \varnothing\).

Rappels indispensables

\[ 0 \leq P(A) \leq 1 \qquad\qquad P(\Omega)=1 \qquad\qquad P(\varnothing)=0 \]
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]

Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles :

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Probabilité conditionnelle

Définition

Si \(P(A)\neq 0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\), notée \(P_A(B)\), est :

\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

Formule de l’intersection

Si \(P(A)\neq 0\):

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \]

Si \(P(B)\neq 0\):

\[ P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A) \]

Règles d’arbre pondéré

  • Sur un même nœud, la somme des probabilités des branches vaut \(1\).
  • La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
  • La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent.
Figure

Probabilités totales et indépendance

Formule des probabilités totales

Si \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\) forment une partition de l’univers, alors pour tout événement \(B\):

\[ P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B) \]

Si de plus \(P(A_1)\), \(P(A_2)\), \dots, \(P(A_n)\) sont non nulles :

\[ P(B)=P(A_1)\,P_{A_1}(B)+P(A_2)\,P_{A_2}(B)+\cdots+P(A_n)\,P_{A_n}(B) \]

Cas particulier avec \(A\) et \(\overline{A}\)

\[ P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \]
\[ P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B) \]

Indépendance

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si :

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \]

Écriture équivalente si \(P(A)\neq 0\):

\[ P_A(B)=P(B) \]

Attention :

  • incompatibles \(\neq\) indépendants ;
  • deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Variables aléatoires réelles

Définition

Une variable aléatoire réelle \(X\) associe à chaque issue de l’univers un nombre réel.

On note :

\[ \{X=a\} \quad\text{ou}\quad \{X\leq a\} \]

pour désigner les événements correspondants.

Loi de probabilité

Si \(X\) prend les valeurs \(x_1\), \(x_2\), \(\dots\), \(x_n\), sa loi de probabilité est le tableau :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valeurs de }X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P(X=x_i) & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array} \]

avec :

\[ p_1+p_2+\cdots+p_n=1 \qquad\text{et}\qquad p_i\geq 0 \]

Réflexe

Pour construire une loi :

  1. lister toutes les valeurs possibles prises par \(X\);
  2. calculer la probabilité de chaque valeur ;
  3. vérifier que la somme des probabilités vaut \(1\).

Espérance, variance, écart type

Espérance

Si \(X\) prend les valeurs \(x_1\), \(x_2\), \(\dots\), \(x_n\) avec les probabilités \(p_1\), \(p_2\), \(\dots\), \(p_n\), alors :

\[ E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n \]

Interprétation :

  • valeur moyenne attendue ;
  • gain moyen dans un jeu si \(X\) représente un gain algébrique.

Jeu équitable

Si \(X\) désigne le gain algébrique d’un joueur :

\[ \text{jeu équitable} \Longleftrightarrow E(X)=0 \]

Variance

La variance mesure la dispersion autour de l’espérance :

\[ V(X)=\bigl(x_1-E(X)\bigr)^2p_1+\bigl(x_2-E(X)\bigr)^2p_2+\cdots+\bigl(x_n-E(X)\bigr)^2p_n \]

Formule pratique :

\[ V(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 \]

avec :

\[ E(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+\cdots+x_n^2p_n \]

Écart type

L’écart type est :

\[ \sigma(X)=\sqrt{V(X)} \]

Interprétation :

  • plus \(\sigma(X)\) est grand, plus les valeurs sont dispersées ;
  • plus \(\sigma(X)\) est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de \(E(X)\).

Méthodes rapides

Méthode 1 --- Calculer une probabilité conditionnelle

  1. repérer l’événement connu ;
  2. écrire la formule :
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
  1. vérifier que \(P(A)\neq 0\).

Méthode 2 --- Calculer une espérance

  1. écrire toutes les valeurs prises par \(X\);
  2. multiplier chaque valeur par sa probabilité ;
  3. additionner.

Méthode 3 --- Calculer une variance

  1. calculer \(E(X)\);
  2. calculer \(E(X^2)\);
  3. utiliser :
\[ V(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 \]

Pièges à éviter

Pièges classiques

  • Ne pas confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).
  • Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.
  • Dans un arbre, ne pas additionner les branches d’un chemin : on les multiplie.
  • Dans une loi, ne pas oublier de vérifier :
\[ p_1+p_2+\cdots+p_n=1 \]
  • L’espérance est une moyenne théorique : ce n’est pas forcément une valeur réellement prise par \(X\).
  • La variance n’est jamais négative.

Formulaire flash

Tout ce qu’il faut savoir refaire vite

\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \]
\[ P(B)=P(A_1)\,P_{A_1}(B)+P(A_2)\,P_{A_2}(B)+\cdots+P(A_n)\,P_{A_n}(B) \]
\[ A \text{ et } B \text{ indépendants } \Longleftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \]
\[ E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n \]
\[ E(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+\cdots+x_n^2p_n \]
\[ V(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 \qquad\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)} \]