Suites en Premiere specialite maths : cours complet

\(u_0\) ou \(u_1\) : terme initial selon l’énoncé
\(u_n\) : terme de rang \(n\)
\(u_{n+1}\) : terme suivant
\(u_{n+1}\) n’est pas forcément égal à \(u_n + 1\)

calculer un terme
lire un rang
identifier le type de définition
reconnaître le modèle utilisé
choisir la bonne formule
étudier le sens de variation
chercher le premier rang où un seuil est atteint

On donne directement le terme de rang \(n\) en fonction de \(n\).

\[ u_n = f(n) \]

À retenir :

pour calculer \(u_8\), on remplace \(n\) par 8
on peut calculer directement n’importe quel terme si la formule est connue

On donne une relation entre deux termes consécutifs, ainsi qu’un terme initial.

\[ u_{n+1} = f(u_n) \]

avec un terme initial \(u_0\) ou \(u_1\).

À retenir :

pour calculer \(u_8\), on calcule les termes un à un à partir du terme initial
on ne peut pas passer directement à un rang lointain sans formule adaptée

Type de définition	Écriture	Réflexe
Explicite	\(u_n = f(n)\)	on remplace \(n\)
Par récurrence	\(u_{n+1} = f(u_n)\)	on calcule terme après terme

On ajoute toujours la même quantité.

\[ u_{n+1} = u_n + r \]

On multiplie toujours par le même nombre.

\[ u_{n+1} = q\,u_n \]

hausse de \(t\%\) : on multiplie par \(1 + \dfrac{t}{100}\)
baisse de \(t\%\) : on multiplie par \(1 - \dfrac{t}{100}\)

ajout constant \(\Rightarrow\) suite arithmétique
multiplication constante \(\Rightarrow\) suite géométrique
pourcentage répété \(\Rightarrow\) en général suite géométrique

Une suite est arithmétique de raison \(r\) si :

\[ u_{n+1} = u_n + r \]

\(u_{n+1} - u_n = r\)
si \(u_n = an + b\), alors la suite est arithmétique de raison \(a\)

Si la suite commence à \(u_0\) :

\[ u_n = u_0 + nr \]

Entre deux rangs \(p\) et \(n\) :

\[ u_n = u_p + (n-p)r \]

si \(r > 0\), la suite est croissante
si \(r < 0\), la suite est décroissante
si \(r = 0\), la suite est constante

\[ u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = \dfrac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2} \]

\[ 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} \]

Une suite est géométrique de raison \(q\) si :

\[ u_{n+1} = q\,u_n \]

si \(u_n \neq 0\), alors \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q\)
si \(u_n = a\,q^n\), alors la suite est géométrique

Si la suite commence à \(u_0\) :

\[ u_n = u_0\,q^n \]

Entre deux rangs \(p\) et \(n\) :

\[ u_n = u_p\,q^{n-p} \]

Pour une suite géométrique de termes positifs :

si \(q > 1\), la suite est croissante
si \(0 < q < 1\), la suite est décroissante
si \(q = 1\), la suite est constante
si \(q < 0\), en général la suite n’est pas monotone

Si \(q \neq 1\) :

\[ u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = u_p\,\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \]

Si \(q = 1\) :

\[ u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = (n-p+1)u_p \]

\[ 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \qquad (q \neq 1) \]

Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut :

comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n\)
étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\)
si les termes sont strictement positifs, comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1

pour une suite arithmétique, tout dépend du signe de \(r\)
pour une suite géométrique de termes positifs, tout dépend de la position de \(q\) par rapport à 1

si \(u_{n+1} - u_n > 0\) pour tout \(n\), la suite est croissante
si \(u_{n+1} - u_n < 0\) pour tout \(n\), la suite est décroissante
si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1\) avec des termes positifs, la suite est croissante
si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) avec des termes positifs, la suite est décroissante

si \(r > 0\), alors \(u_n \to +\infty\)
si \(r < 0\), alors \(u_n \to -\infty\)
si \(r = 0\), la suite est constante

si \(|q| < 1\), alors \(u_n \to 0\)
si \(q = 1\), alors \(u_n = u_0\)
si \(q > 1\) et \(u_0 > 0\), alors \(u_n \to +\infty\)
si \(q > 1\) et \(u_0 < 0\), alors \(u_n \to -\infty\)
si \(q \leq -1\) et \(u_0 \neq 0\), en général la suite n’a pas de limite

si \(q < 0\), les signes alternent
une suite bornée n’est pas forcément convergente
\(u_n \to 0\) ne signifie pas que tous les termes sont nuls

\[ q = 1 + \dfrac{t}{100} \]

\[ q = 1 - \dfrac{t}{100} \]

Une évolution répétée en pourcentage se modélise en général par une suite géométrique.

Évolution	Coefficient multiplicateur
hausse de 2 %	\(1{,}02\)
hausse de 5 %	\(1{,}05\)
baisse de 3 %	\(0{,}97\)
baisse de 10 %	\(0{,}90\)

On cherche souvent le plus petit entier \(n\) tel que :

\(u_n \geq A\)
ou \(u_n \leq A\)

si on dispose d’une formule explicite simple, on résout l’inéquation
sinon, on calcule les termes un à un jusqu’à atteindre le seuil

n <- 0
u <- u0
Tant que u < A
    u <- ...
    n <- n + 1
Fin Tant que

À la fin, \(n\) est le premier rang pour lequel la condition demandée est vérifiée.

\(u_{n+1}\) n’est pas égal à \(u_n + 1\), sauf cas particulier
une hausse de 4 % signifie multiplier par \(1{,}04\), pas ajouter 4
une baisse de 7 % signifie multiplier par \(0{,}93\), pas soustraire 7
dans \(u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n\), il y a \(n-p+1\) termes
une suite géométrique de raison négative n’est en général pas monotone
\(u_n \to 0\) ne signifie pas que \(u_n = 0\)
il faut toujours vérifier si le terme initial est \(u_0\) ou \(u_1\)

\[ u_{n+1} = u_n + r \]

\[ u_n = u_0 + nr \]

\[ u_n = u_p + (n-p)r \]

\[ u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = \dfrac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2} \]

\[ u_{n+1} = q\,u_n \]

\[ u_n = u_0\,q^n \]

\[ u_n = u_p\,q^{n-p} \]

\[ u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = u_p\,\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \qquad (q \neq 1) \]

\[ \text{hausse de } t\% \Rightarrow 1 + \dfrac{t}{100} \]

\[ \text{baisse de } t\% \Rightarrow 1 - \dfrac{t}{100} \]

suite arithmétique de raison positive \(\Rightarrow +\infty\)
suite arithmétique de raison négative \(\Rightarrow -\infty\)
suite géométrique avec \(|q| < 1\) \(\Rightarrow 0\)
suite géométrique avec \(q > 1\) et \(u_0 > 0\) \(\Rightarrow +\infty\)