CoursSixième
Nombres entiers et numération
Lire et décomposer un entier
Les entiers naturels sont $0,1,2,3,\ldots$ Les dix chiffres de 0 à 9 servent à les écrire. La valeur d’un chiffre dépend de son rang : unités, dizaines, centaines, milliers… Dix unités d’un rang valent une unité du rang voisin à gauche.
Un million vaut $1\,000\,000$ ; un milliard vaut $1\,000\,000\,000$, soit mille millions. Pour lire un grand nombre, sépare les chiffres par classes de trois depuis la droite : unités, milliers, millions, milliards. Garde trois chiffres dans chaque classe après la première, même si elle commence par des zéros.
$5\,050=5\times1\,000+5\times10$ : les deux 5 n’ont pas la même valeur. Dans $52\,304$, le chiffre des centaines est 3 ; le nombre de centaines complètes est 523.
Voir un exemple — Lire les classes sans perdre les zéros
Le nombre $24\,608\,035\,902$ se lit « vingt-quatre milliards six cent huit millions trente-cinq mille neuf cent deux ».
La classe $035$ se lit « trente-cinq », mais ses trois positions sont conservées. La dernière classe se lit sans ajouter le mot « unités ».
Comparer et se repérer
Sans zéros inutiles à gauche, le plus grand entier a le plus de chiffres. À nombre de chiffres égal, compare de gauche à droite : le premier chiffre différent décide. L’ordre croissant va du plus petit au plus grand ; l’ordre décroissant fait l’inverse.
Encadrer place un nombre entre deux bornes. Entre deux milliers consécutifs : $5\,000\leqslant5\,050<6\,000$. Si le nombre est exactement un millier, la borne inférieure lui est égale.
Sur une demi-droite graduée, le pas est l’écart entre deux graduations successives ; l’abscisse est le nombre qui repère un point. Lis aussi l’unité : 300 millions vaut $300\,000\,000$.
Voir un exemple — Comparer par le nombre de chiffres ou par le premier écart
Deux façons de décider
Les nombres $9\,950\,000\,000$ et $10\,020\,000\,000$ s'écrivent avec respectivement dix et onze chiffres. Donc :
Les nombres $4\,305\,070\,100$ et $4\,350\,002\,100$ ont autant de chiffres. Les unités de milliards et les centaines de millions sont identiques. Le premier écart se trouve aux dizaines de millions : $0<5$. Donc :
Les chiffres situés après ce rang ne changent plus la décision.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le premier chiffre différent décide
Pour deux entiers écrits sans zéros inutiles à gauche et ayant le même nombre de chiffres, les rangs identiques avant le premier écart apportent la même quantité. Au premier rang différent, une unité supplémentaire dépasse tout ce que les rangs suivants peuvent apporter : par exemple, un millier vaut plus que 999 unités.
Partager l’unité
Un dixième, un centième et un millième valent respectivement $\dfrac1{10}$, $\dfrac1{100}$ et $\dfrac1{1\,000}$ de l’unité. Une unité vaut 10 dixièmes, un dixième vaut 10 centièmes, un centième vaut 10 millièmes.