CoursCinquième
Calcul numérique : vocabulaire, priorités et enchaînements
Choisir et nommer un calcul
L’addition réunit des quantités (somme) ; la soustraction enlève une quantité ou mesure un écart (différence). Les nombres concernés sont les termes. La multiplication répète une quantité (produit) ; les nombres multipliés sont les facteurs. La division donne la taille d’une part ou le nombre de parts (quotient) ; son diviseur doit être non nul.
Une expression numérique rassemble nombres et opérations. Pour la nommer, repère l’opération à effectuer en dernier : $3+2\times5$ est une somme ; $(3+2)\times5$ est un produit. Le signe égal relie des écritures de même valeur.
Calculer avec les décimaux
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 rend la valeur de chaque chiffre 10, 100 ou 1 000 fois plus grande ; diviser fait l’inverse. Zéro reste zéro. Les tables donnent aussi $0{,}7\times0{,}8=0{,}56$.
Pour diviser par un décimal non nul, multiplie le dividende et le diviseur par 10, 100, 1 000, etc., autant que nécessaire pour rendre le diviseur entier. Le quotient reste inchangé : $\frac{0{,}6}{0{,}2}=\frac{6}{2}=3$. Contrôle en multipliant le quotient par le diviseur.
Voir un exemple — Rendre entier un diviseur décimal et contrôler
Rendre le diviseur entier
Pour calculer $7{,}56\div0{,}6$, on multiplie les deux nombres par 10 :
La division par $6$ donne $12{,}6$, ce que l'on contrôle par $6\times12{,}6=75{,}6$. Dans le calcul initial, on retrouve bien :
Le dividende peut rester décimal : il suffit ici que le diviseur devienne entier.
Pour calculer $0{,}945\div0{,}035$, on multiplie les deux nombres par $1\,000$ :
On vérifie que $35\times27=945$, donc que $0{,}035\times27=0{,}945$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi transformer les deux termes conserve le quotient
Comprendre la propriété
Un quotient reste inchangé quand on multiplie le dividende et le diviseur non nul par un même nombre non nul. Pour $b>0$ et $k\in\{10,100,1000\}$, si $a=bq$, alors $ka=(kb)q$.
Le même nombre $q$ convient donc après la transformation, y compris lorsque $a=0$.
Respecter l’ordre des opérations
Calcule d’abord les parenthèses les plus intérieures, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, avance de gauche à droite. Recopie les parties encore inchangées.
$42\div7\times3=6\times3=18$. Les parenthèses changent le sens : $3+2\times5=13$, tandis que $(3+2)\times5=25$.
Utiliser la distributivité
Pour des nombres positifs ou nuls, on peut multiplier chaque terme d’une somme ; pour une différence, on prend $a\geq b$. Les égalités se lisent dans les deux sens, y compris avec des nombres nuls.
$9\times(10+2)=9\times10+9\times2=108$. Le facteur multiplie les deux termes.
Voir un exemple — Calculer 49 × 7 avec un nombre voisin
Utiliser un nombre voisin
On peut aussi partir d'une différence, avec le facteur commun à droite :