CoursQuatrième
Produits, quotients et enchaînements avec les nombres relatifs
Multiplier des nombres relatifs
Les nombres multipliés sont les facteurs ; le résultat est le produit. La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro. Pour multiplier deux nombres non nuls, multiplier leurs valeurs absolues puis choisir le signe : positif pour deux signes identiques, négatif pour deux signes contraires.
La distributivité explique le produit de deux négatifs : $(-4)\times2+(-4)\times(-2)=(-4)\times(2-2)=0$. Le second produit est donc l’opposé de $-8$, soit $8$.
Un facteur nul rend tout le produit nul. Multiplier par $-1$ donne l’opposé. Avec plusieurs facteurs non nuls : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair donne un produit négatif. On peut permuter et regrouper les facteurs.
Identifier l’opération : $(-7)+(-5)=-12$, mais $(-7)\times(-5)=35$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi compter les facteurs négatifs
Comprendre la justification
Regroupe les facteurs négatifs par paires : chaque paire donne un produit positif. S'il reste un facteur négatif, le produit est négatif. Cette méthode suppose qu'aucun facteur n'est nul.
Diviser et garder une valeur exacte
Pour $b\ne0$, le quotient $\frac ab$ est le nombre $q$ tel que $bq=a$. $a$ est le dividende et $b$ le diviseur. Aucune division par zéro n’est définie, y compris avec un dividende nul.
Pour deux nombres non nuls, le quotient est positif si leurs signes sont identiques et négatif sinon. Pour $b\ne0$, $\frac0b=0$. Contrôler le résultat en le multipliant par le diviseur.
La fraction conserve la valeur exacte ; l’opposé de $-\frac73$ est $\frac73$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi la division par zéro est exclue
Comprendre la justification
Un quotient doit être unique. Si $a\ne0$, aucun nombre $q$ ne vérifie $0\times q=a$. Si $a=0$, tous les nombres conviennent. Dans les deux cas, on ne définit pas de quotient par zéro.
Respecter les priorités
Calculer les parenthèses de l’intérieur vers l’extérieur, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, avancer de gauche à droite. Une barre de fraction regroupe tout son numérateur et tout son dénominateur.
Soustraire revient à ajouter l’opposé : $a-b=a+(-b)$. L’opposé d’une somme change les deux signes : $-(u+v)=-u-v$.
Multiplier puis diviser par le même nombre non nul annule les deux opérations. Par 10, 100 ou 1 000, le signe ne change pas ; par exemple $-0{,}48\times100=-48$ et $-48\div100=-0{,}48$.
Voir un exemple — Multiplication et division de même priorité
Même priorité : de gauche à droite
Une division n'est pas prioritaire sur une multiplication, ni l'inverse. Ici, on suit l'ordre de lecture.
Regrouper $(-6)\times(-2)$ dans le diviseur changerait l'expression.
Lire une suite de calculs
Les résultats d’une addition, soustraction, multiplication et division s’appellent respectivement somme, différence, produit et quotient. La dernière opération donne la nature de l’expression ; l’ordre compte pour une différence ou un quotient.
« Ajouter 3, puis multiplier par 4 » s’écrit $4(x+3)$ pour un départ $x$. Les parenthèses conservent l’ordre du programme de calcul.
Voir un exemple — Lire un arbre de calcul
Lire un arbre de calcul
On considère l'expression :
C'est la somme de $4$ et du produit de $-2$ par la différence de $7$ et de $10$.
On calcule la différence, puis le produit, puis la somme. L'arbre donne le résultat final : $E=10$.
