CoursTroisième
Divisibilité, décomposition et fractions irréductibles
Divisibilité et décomposition
Pour $n$ entier naturel et $d>0$ entier, $d$ divise $n$ si $n=d\times k$ pour un entier naturel $k$. On dit aussi que $n$ est un multiple de $d$. Tout entier positif divise $0$ ; on ne divise jamais par $0$.
- Par $2$ : le chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
- Par $5$ : le chiffre des unités est $0$ ou $5$.
- Par $3$ ou $9$ : la somme des chiffres est divisible par $3$ ou par $9$.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même. $0$ et $1$ ne sont pas premiers ; $2$ est le seul premier pair. Tout entier au moins égal à $2$ peut se décomposer en facteurs premiers.
Factoriser, c’est écrire un produit. Dans $180=2^2\times3^2\times5$, tous les facteurs sont premiers. Un arbre peut aider à les trouver ; on multiplie ses feuilles.
Comprendre pourquoi — Pourquoi 2 est le seul nombre premier pair
Tout entier strictement positif divise $0$ : $0$ a donc plus de deux diviseurs positifs. Le nombre $1$ n'a qu'un diviseur positif ; il n'est pas premier non plus.
Les seuls diviseurs positifs de $2$ sont $1$ et $2$ : il est premier. Tout entier pair supérieur à $2$ possède les trois diviseurs distincts $1$, $2$ et lui-même. Il n'est donc pas premier. Cela prouve l'unicité du nombre premier pair.
Fractions égales et forme irréductible
Le quotient $\frac{a}{b}$, avec $b\ne0$, est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. $a$ est le numérateur, $b$ le dénominateur. Un nombre rationnel peut s’écrire comme quotient de deux entiers, avec dénominateur non nul.
Diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun non nul conserve la valeur. Simplifie des facteurs, jamais des termes d’une somme.
Avec un dénominateur positif, une fraction est irréductible si le seul diviseur positif commun au numérateur sans son signe et au dénominateur est $1$. Recommence les simplifications tant que nécessaire : $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$. Le signe peut être placé devant la fraction. Pour un numérateur nul, la forme irréductible est $\frac{0}{1}$.
Voir un exemple — Irréductible sans termes premiers
Les deux termes n'ont pas besoin d'être premiers
Les diviseurs positifs de $14$ sont $1$, $2$, $7$ et $14$. Ceux de $25$ sont $1$, $5$ et $25$. Leur seul diviseur commun est $1$ : la fraction $\dfrac{14}{25}$ est irréductible.
En revanche, $14$ et $21$ ont le diviseur commun $7$, donc
La fraction de départ n'était pas irréductible.
Comprendre pourquoi — Pourquoi un facteur commun conserve le quotient
Soient $a$, $b$ et $k$ des nombres, avec $b\ne0$ et $k\ne0$. Posons $q=\frac{a}{b}$ : par définition, $bq=a$.
Comme $kb\ne0$, $q$ est aussi le quotient de $ka$ par $kb$. Donc $\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}$.
Comparer, additionner et soustraire
Ramène les fractions à un même dénominateur positif : un multiple commun suffit. Compare alors les numérateurs. Pour additionner ou soustraire, garde ce dénominateur.
Par exemple, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.
Multiplier et diviser
L’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ si $a\ne0$ et $b\ne0$. Zéro n’a pas d’inverse. L’opposé et l’inverse sont différents. Diviser par une fraction non nulle, c’est multiplier par son inverse :
Calcule les parenthèses, puis produits et quotients, puis sommes et différences ; à priorité égale, de gauche à droite. Le trait de fraction groupe tout le numérateur et tout le dénominateur.
Voir un exemple — Calculer une expression avec parenthèses
Un calcul en trois temps
On considère
On commence par la parenthèse :
Puis on effectue le produit avant l'addition :
Le résultat est $\dfrac78$ ; les priorités ont été conservées à chaque étape.
Prendre une fraction d’une quantité
Pour $a$ entier naturel et $b$ entier strictement positif, prendre les $\frac{a}{b}$ d’une quantité $Q$, c’est calculer $Q\times\frac{a}{b}$. On partage en $b$ parts égales puis on en prend $a$. L’unité est celle de $Q$. Pour un pourcentage, utilise $\frac{t}{100}$ : $35\,\%=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$.