Arithmétique, divisibilité et fractions · Cours

Entiers, multiples et diviseurs

$\mathbb N=\{0;1;2;\ldots\}$ contient les entiers naturels ; $\mathbb Z$ contient aussi les entiers négatifs. Ainsi $\mathbb N\subset\mathbb Z$.

Pour des entiers $a,b$, $a$ est un multiple de $b$ si $a=kb$ pour un entier $k$. On dit aussi que $b$ divise $a$, et on note $b\mid a$. Si $b\ne0$, cela revient à $\frac{a}{b}\in\mathbb Z$.

Le seul multiple de zéro est zéro. Zéro est un multiple de tout entier. Par exemple, $-56=7\times(-8)$ ; le signe n’empêche pas la divisibilité.

Divisibilité et parité

En base dix, un entier naturel est divisible par $2$ si son dernier chiffre est pair, par $5$ s’il finit par $0$ ou $5$, par $10$ s’il finit par $0$. Il est divisible par $3$ ou $9$ si la somme de ses chiffres l’est ; par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l’est (ajouter un zéro devant un chiffre seul).

Un entier relatif est pair s’il s’écrit $2k$, impair s’il s’écrit $2k+1$, avec $k\in\mathbb Z$. Tout entier est pair ou impair, jamais les deux. Zéro est pair. Le carré d’un entier impair est impair. La somme de deux multiples d’un même entier est encore un multiple de cet entier.

Voir un exemple — Tester les critères sur 1 260

Utiliser les critères connus

Le nombre $1\,260$ finit par $0$ : il est divisible par $2$, par $5$ et par $10$. Sa somme de chiffres vaut

\[1+2+6+0=9.\]

Il est donc aussi divisible par $3$ et par $9$.

Les deux derniers chiffres forment le nombre $60=4\times15$ : $1\,260$ est aussi divisible par $4$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le carré d’un impair est impair

Soit $n$ un entier impair. Il existe un entier relatif $k$ tel que

\[n=2k+1.\]

Pour établir que $n^2$ est impair, nous cherchons à l'écrire comme deux fois un entier, plus $1$. Par double distributivité, on obtient

\begin{aligned}n^2&=(2k+1)(2k+1)\\ &=4k^2+2k+2k+1\\ &=4k^2+4k+1\\ &=2(2k^2+2k)+1.\end{aligned}

Le nombre $h=2k^2+2k$ est un entier relatif. On a donc $n^2=2h+1$ : par définition, $n^2$ est impair.

Réduire une fraction

Dans $\frac{a}{b}$ ($a,b$ entiers, $b\ne0$), $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur. Multiplier ou diviser les deux par un même nombre non nul conserve la valeur. On simplifie des facteurs communs, pas des termes d’une somme.

Une fraction est irréductible si ses deux termes n’ont aucun diviseur commun positif supérieur à $1$. On peut choisir un dénominateur positif. Pour un numérateur nul, la forme irréductible est $\frac{0}{1}=0$.

Huit douzièmes et deux tiers occupent exactement la même longueur.

\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.

Comprendre pourquoi — Pourquoi simplifier conserve la valeur d’une fraction

Soient $a,b,c$ des entiers, avec $b\ne0$ et $c\ne0$. Posons $q=\frac ab$, donc $bq=a$. Alors :

\[(bc)q=c(bq)=ca.\]

Comme $bc\ne0$, on a aussi $q=\frac{ac}{bc}$. Les deux fractions représentent le même nombre. Simplifier utilise cette égalité dans l’autre sens.

Calculer et comparer des fractions

Pour $b,d\ne0$, mettre au même dénominateur pour additionner ou soustraire. Pour comparer, choisir un dénominateur commun positif : l’ordre est alors celui des numérateurs.

\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b},\qquad\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\quad(c\ne0).

Fraction, décimal et pourcentage

$p\,\%=\frac{p}{100}$. Ainsi $\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%$. Attention : $7{,}5\,\%$ vaut $0{,}075$, pas $7{,}5$.