Suites numériques : généralités et modèles discrets · Cours

Définir et calculer une suite

Une suite associe à chaque entier $n\geqslant n_0$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$. $u_n$ est un nombre ; $(u_n)$ désigne la suite. Repérer le rang initial : $0$, $1$ ou un autre entier donné.

Définition explicite : $u_n=f(n)$ ; remplacer le rang par l’entier demandé pour calculer directement le terme.
Définition par récurrence : donner un terme initial et une règle calculant le suivant à partir du précédent. La règle peut dépendre de $n$ ; ses opérations doivent être définies.

$u_{n+1}$ est le terme au rang suivant ; $u_n+1$ est le terme augmenté de $1$. Une relation de récurrence seule ne détermine pas une suite.

Voir un exemple — Une formule explicite

Pour $u_n=(n+1)^2+1$, $n\in\mathbb N$, on obtient $u_2=10$.

Représenter une suite

Placer les points $(n\,;u_n)$ : le rang est en abscisse, le terme en ordonnée. On ne relie pas les points, car la suite ne comporte que des rangs entiers. Pour $u_n=f(n)$, ces points sont sur la courbe de $f$, mais la courbe entière ne représente pas la suite.

Nuage des cinq premiers termes de u_n=(n+1)^2+1 ; abscisses 0 à 4, ordonnées 2,5,10,17,26.

Étudier les variations

Pour tous les rangs concernés, une suite est croissante si $u_{n+1}\geqslant u_n$, décroissante si $u_{n+1}\leqslant u_n$. Des inégalités strictes donnent des variations strictes ; une suite constante a tous ses termes égaux.

Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ à tout rang. Quelques termes ne suffisent pas à conclure. Si $u_n=f(n)$ et si $f$ est croissante ou décroissante sur $[n_0\,;+\infty[$, la suite l’est aussi ; cela vaut également pour les variations strictes.

Comprendre pourquoi — Justifier la croissance à tous les rangs

Pour $n\geqslant1$, soit $p_n=n(n+2)$.

p_{n+1}-p_n=(n+1)(n+3)-n(n+2)=2n+3>0.

La différence est strictement positive pour chaque entier $n\geqslant1$ : la suite est donc strictement croissante sur ces rangs.

Lire un comportement à long terme

Limite finie $\ell$ : les termes restent aussi proches que souhaité de $\ell$ aux rangs suffisamment grands.
Limite $+\infty$ : les termes dépassent tout seuil et restent au-dessus aux rangs suffisamment grands ; pour $-\infty$, ils passent sous tout seuil négatif et y restent.
Une suite peut n’avoir aucune limite. Par exemple, les termes $1,3,1,3,\ldots$ alternent entre deux valeurs distinctes.

L’infini n’est pas une valeur atteinte. Une table ou un graphique fini peut suggérer une limite ; revenir à la définition de la suite pour comprendre ce comportement.

Voir un exemple — Approcher une limite sans l’atteindre

Pour tout entier $n\geqslant0$, soit $r_n=2+\frac{3}{n+1}$. On a $r_0=5$, $r_9=2{,}3$, $r_{99}=2{,}03$ et $r_{999}=2{,}003$.

L’écart à $2$ vaut $\frac{3}{n+1}$ et tend vers $0$ lorsque $n$ augmente. La suite tend vers $2$, bien que tous ses termes soient strictement supérieurs à $2$.