CoursPremière technologique
Suites numériques : modèles discrets
Suite, rang et calcul d’un terme
Une suite numérique associe à chaque entier admissible $n$ un nombre $u(n)$, aussi noté $u_n$. $n$ est le rang ; $u_n$ est le terme. Préciser le rang initial, qui peut être $0$ ou $1$.
Une formule explicite donne directement $u(n)$ en fonction de $n$. Exemple : $u(n)=n^2+2$ pour $n\ge0$ donne $u(3)=11$.
Une définition par récurrence donne les valeurs initiales et une relation permettant de calculer les termes suivants à partir des précédents. Exemple :
On obtient successivement $v(1)=5$ et $v(2)=5{,}5$. Attention : $v(n+1)$ est le terme suivant, tandis que $v(n)+1$ ajoute $1$ au terme actuel.
Sens de variation
Pour tous les rangs $n$ tels que $n$ et $n+1$ soient admissibles, la suite est croissante si $u(n+1)\ge u(n)$, décroissante si $u(n+1)\le u(n)$, constante si $u(n+1)=u(n)$. Avec des inégalités strictes à chaque rang, la variation est stricte.
Le signe de $u(n+1)-u(n)$ permet de comparer deux termes successifs. Quelques premiers termes ou un graphique donnent une observation ; conclure pour une suite infinie demande une justification valable à chaque rang. Une suite peut n’être ni croissante ni décroissante.
Comprendre pourquoi — Justifier une croissance à tous les rangs
Pour la suite $u(n)=n^2+2$, définie pour les entiers $n\ge0$, on calcule :
La différence est positive pour chaque rang admissible. La suite est donc strictement croissante, et pas seulement sur les quelques rangs affichés.
Représentation par des points
La représentation est le nuage des points $(n;u(n))$ aux seuls rangs admissibles : rang sur l’axe horizontal, terme sur l’axe vertical. Pour $u(n)=n^2+2$, le point $(3;11)$ représente $u(3)=11$.
On ne lit aucun terme au rang $2{,}5$. Relier les points n’ajoute pas de valeurs à la suite.