Information chiffrée, proportions et évolutions · Cours

Taux et calcul des valeurs

Un pourcentage $p\,\%$ vaut $\frac{p}{100}$. Comparer des valeurs de la même grandeur, dans la même unité.

Mesurer une évolution

La valeur initiale est $V_i$, la valeur finale $V_f$. La variation absolue vaut $V_f-V_i$. Si $V_i\ne0$, le taux décimal est

t=\frac{V_f-V_i}{V_i}.

Le taux en pourcentage vaut $(100t)\,\%$. Pour $V_i>0$, un taux positif indique une hausse, négatif une baisse, nul une stabilité.

Coefficient multiplicateur

K=1+t,\qquad V_f=V_iK.

Pour retrouver la valeur initiale, il faut $K\ne0$ :

V_i=\frac{V_f}{K}.

Une hausse de $8\,\%$ donne $K=1{,}08$ ; une baisse de $8\,\%$ donne $K=0{,}92$.

Voir un exemple — Retrouver le prix initial

\frac{63}{0{,}84}=75.

Un prix de $63$ euros après une remise de $16\,\%$ était donc de $75$ euros. La remise portait sur le prix initial.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la valeur finale se calcule avec 1+t

Pourquoi multiplier par $1+t$ ?

Pour $V_i\ne0$, multiplier la définition du taux par $V_i$, ajouter $V_i$, puis factoriser donne :

\begin{aligned}tV_i&=V_f-V_i,\\V_f&=V_i+tV_i=V_i(1+t).\end{aligned}

Pour retrouver $V_i$, diviser par $1+t$ seulement si ce coefficient est non nul.

Évolutions successives et réciproque

Composer les évolutions

Chaque taux porte sur la valeur déjà modifiée. Pour plusieurs taux $t_1,\ldots,t_n$, multiplier les coefficients :

K=(1+t_1)\cdots(1+t_n),\qquad t_{\mathrm{global}}=K-1.

Les taux ne s’additionnent pas.

Deux évolutions successives : la valeur intermédiaire V1 est la nouvelle base ; le trajet global multiplie les deux coefficients. — La valeur intermédiaire devient la nouvelle référence.

Revenir à la valeur de départ

Pour $V_i\ne0$ et $V_f\ne0$, le coefficient direct $K=1+t$ est non nul. Le coefficient réciproque et le taux réciproque sont

K^{\prime}=\frac1K,\qquad t^{\prime}=\frac1{1+t}-1.

Le taux réciproque n’est généralement pas l’opposé du taux direct. Une baisse de $100\,\%$ donne $K=0$ : aucun retour multiplicatif vers une valeur initiale positive n’est possible.

Voir un exemple — Après une baisse de 36 %

K=0{,}64,\qquad K^{\prime}=\frac1{0{,}64}=1{,}5625.

Le retour demande une hausse de $56{,}25\,\%$ : $100\to64\to100$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi composer les coefficients et utiliser leur inverse

Pourquoi multiplier les coefficients ?

La seconde évolution porte sur la valeur déjà modifiée :

\begin{aligned}V_1&=V_i(1+t_1),\\V_2&=V_1(1+t_2)=V_i(1+t_1)(1+t_2).\end{aligned}

Chaque évolution ajoute un facteur au produit. Le coefficient équivalent est $K=1+t_{\mathrm{global}}$, donc le taux global vaut $K-1$.

Vérifier le retour

Pour $V_i\ne0$, $V_f\ne0$ et $K\ne0$, revenir au départ impose $V_iKK^\prime=V_i$.

KK^\prime=1,\qquad K^\prime=\frac{1}{K}.

Le taux de retour vaut le coefficient de retour moins $1$. Il n’est généralement pas l’opposé du taux direct.