Suites et évolutions discrètes · Cours

Définir et représenter une suite

Une suite associe un réel $u_n$ à chaque rang entier naturel $n$. Si le premier rang est $0$, son premier terme est $u_0$. Une formule explicite donne directement $u_n$ ; une récurrence donne le terme suivant et exige un terme initial.

Pour $u_{n+1}=f(u_n)$, on suppose $u_0\in I$ et $f$ continue de l’intervalle $I$ dans lui-même. Sur le graphique de $f$ et de $y=x$, partir de $u_0$, aller verticalement à la courbe puis horizontalement à la diagonale, et recommencer. Un graphique suggère un comportement ; il ne le prouve pas.

La figure montre $u_0=4$ et $u_{n+1}=0{,}5u_n+3$ : on lit $u_1=5$, puis $u_2=5{,}5$.

Les marches pointillées alternent passage par la courbe et passage par la diagonale. Depuis $4$, elles donnent $5$, puis $5{,}5$, puis $5{,}75$. Les deux droites se coupent au point $(6;6)$.

Limites et calculs

$u_n\to\ell$ signifie que les termes finissent par rester aussi proches du réel $\ell$ que souhaité. $u_n\to+\infty$ signifie qu’ils finissent par dépasser tout nombre fixé ; pour $-\infty$, ils deviennent inférieurs à tout nombre fixé. Une suite peut n’avoir aucune limite, comme $(-1)^n$.

n\to+\infty,\quad n^2\to+\infty,\quad -n\to-\infty,\quad \frac1n\to0\ (n\ge1).

Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to m$ sont des limites finies, pour tout réel $k$ :

u_n+v_n\to\ell+m,\quad ku_n\to k\ell,\quad u_nv_n\to\ell m,\quad \frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{m}\ \text{si }m\ne0.

Ajouter une limite finie à une limite infinie, ou deux infinis de même signe, conserve cet infini. Pour un produit avec un facteur infini et l’autre de limite non nulle, le signe décide de l’infini obtenu. Même règle pour un quotient de limite infinie par une limite finie non nulle.

Si $u_n\to\pm\infty$, alors $\frac1{u_n}\to0$. Si $u_n\to0$ avec des termes finalement strictement positifs, l’inverse tend vers $+\infty$ ; s’ils sont finalement strictement négatifs, vers $-\infty$.

\infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad \frac00

Ces formes sont indéterminées : transformer l’expression avant de conclure. L’infini n’est pas un nombre réel.

Comparer et encadrer

Les inégalités ci-dessous doivent être vraies à partir d’un certain rang. Si $u_n\le v_n$ et si leurs limites finies sont $\ell,m$, alors $\ell\le m$ ; une inégalité stricte peut devenir large.

Si $u_n\ge v_n$ et $v_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$. Si $u_n\le v_n$ et $v_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.

Théorème des gendarmes : si $a_n\le u_n\le b_n$ et si $a_n$ et $b_n$ convergent vers le même réel $\ell$, alors $u_n\to\ell$.

Voir un exemple — Encadrer une suite qui oscille

On peut ainsi déterminer une limite en encadrant une expression dont un terme oscille. Pour tout rang $n$, on a $-1\leqslant(-1)^n\leqslant1$. Comme $n+1$ est strictement positif, diviser par $n+1$ conserve l'ordre ; ajouter $2$ donne

2-\frac1{n+1} \leqslant2+\frac{(-1)^n}{n+1} \leqslant2+\frac1{n+1}.

Les deux bornes convergent vers $2$. Le théorème des gendarmes permet donc de conclure :

\lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n+1}\right)=2.

Suites géométriques

Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$. Pour $q\ne0$, $u_n=u_0q^n$. Pour $q=0$, garder $u_0$ donné : tous les termes de rang $n\ge1$ sont nuls.

Pour $q\ge0$ : si $0\le q<1$, $u_n\to0$ ; si $q=1$, la suite est constante et sa limite vaut $u_0$. Si $q>1$, la limite est $+\infty$ pour $u_0>0$, $-\infty$ pour $u_0<0$, et $0$ pour $u_0=0$.

Voir un exemple — Le rôle du terme initial dans une limite

La raison ne suffit pas à elle seule

Comme $0<0{,}8<1$, la suite de terme $7\times0{,}8^n$ tend vers $0$.

Comme $1{,}2>1$ et que $-3$ est négatif, la suite de terme $-3\times1{,}2^n$ tend vers $-\infty$.

Une suite de terme initial nul reste nulle, même si sa raison est supérieure à $1$.

Somme des termes géométriques

$S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ contient $n+1$ termes.

S_n=\begin{cases}u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}&\text{si }q\ne1,\\(n+1)u_0&\text{si }q=1.\end{cases}

Pour $0\le q<1$, la suite des sommes converge :

\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{u_0}{1-q}.

Comprendre pourquoi — Retrouver la somme géométrique

Pour $q\ne1$, soustraire $qS_n$ à $S_n$ élimine les termes intermédiaires : $(1-q)S_n=u_0(1-q^{n+1})$. On divise par $1-q\ne0$. Si $q=0$, seul le premier terme reste ; si $q=1$, les $n+1$ termes sont égaux.

Récurrence arithmético-géométrique

Pour $u_{n+1}=au_n+b$, avec $a,b$ réels, chercher une constante $\ell$ telle que $\ell=a\ell+b$.

Si $a\ne1$, $\ell=\frac{b}{1-a}$ et $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$. Pour $a\ne0,1$ :

u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n.

Si $a=0$, le terme initial reste libre et $u_n=b$ dès $n=1$. Si $a=1$, $u_n=u_0+nb$ : il existe une solution constante seulement si $b=0$, et toutes les solutions sont alors constantes. L’existence de $\ell$ ne suffit pas à prouver une convergence.

Comprendre pourquoi — Pourquoi soustraire la constante particulière

Pour $a\ne1$, $\ell=\frac b{1-a}$ vérifie $a\ell+b=\ell$. La translation supprime l’ajout constant :

\begin{aligned}v_{n+1}&=au_n+b-\ell\\&=a(u_n-\ell)=av_n.\end{aligned}

Pour $a\ne0$, on obtient $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ ; substitution vérifie la récurrence. Pour $a=0$, $u_n=b$ dès $n=1$, sans $0^0$.