Nombres complexes : calcul algébrique · Cours

Écrire et calculer un complexe

Un nombre complexe s'écrit de façon unique $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$. Sa partie réelle est $a$, sa partie imaginaire est le réel $b$. Il est réel si $b=0$, imaginaire pur si $a=0$ ; $0$ est les deux.

$a+ib=c+id$ équivaut à $a=c$ et $b=d$. Pour calculer, développer avec les règles usuelles puis remplacer $i^2$ par $-1$ :

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),\qquad(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).

Par exemple, $(2-i)(3+2i)=8+i$. Les identités remarquables restent valables dans $\mathbb C$. Les puissances de $i$ se répètent tous les quatre exposants : $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

Conjugué, inverse et quotient

Pour $z=a+ib$, son conjugué est $\overline z=a-ib$. On a $\overline{\overline z}=z$, $z+\overline z=2a$, $z-\overline z=2ib$ et $z\overline z=a^2+b^2$.

\overline{z+w}=\overline z+\overline w,\qquad\overline{zw}=\overline z\,\overline w.

$z$ est réel si et seulement si $\overline z=z$ ; il est imaginaire pur si et seulement si $\overline z=-z$.

Si $z=a+ib\ne0$, son inverse est unique. Pour $v\ne0$, on calcule un quotient en multipliant par le conjugué du dénominateur :

\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2},\qquad\frac{u}{v}=\frac{u\overline v}{v\overline v}.

\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline z}\quad(z\ne0),\qquad\overline{z^n}=(\overline z)^n.

La dernière relation vaut pour les puissances définies : exposant naturel, ou exposant entier négatif si $z\ne0$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le conjugué donne l’inverse

Pour $z=a+ib\ne0$, $a^2+b^2>0$ et $z\frac{a-ib}{a^2+b^2}=1$ : la formule donne un inverse. Si $zu=zv=1$, alors $u=u(zv)=(uz)v=v$ : il est unique. Pour un quotient de dénominateur non nul, multiplier ses deux termes par le conjugué du dénominateur rend celui-ci réel et strictement positif.

Résoudre une équation linéaire

Pour $A,B\in\mathbb C$, si $A\ne0$, $Az=B$ a l'unique solution $z=\frac{B}{A}$. Si $A=B=0$, tous les complexes conviennent. Si $A=0$ et $B\ne0$, il n'y a aucune solution.

Dans une équation faisant intervenir $z$ et $\overline z$, écrire $z=a+ib$ et $\overline z=a-ib$, puis égaler les parties réelles et imaginaires.

Binôme de Newton

Pour $z,w\in\mathbb C$ et $n\in\mathbb N$ :

(z+w)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^{n-k}w^k.

Dans cette identité, une puissance d'exposant zéro vaut 1, même si sa base est nulle.

Second degré à coefficients réels

Pour $a,b,c\in\mathbb R$, $a\ne0$, poser $\Delta=b^2-4ac$. Les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont :

\begin{array}{ll}\Delta>0:&z=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ \text{ou}\ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\\[2pt]\Delta=0:&z=-\frac{b}{2a},\\[2pt]\Delta<0:&z=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ \text{ou}\ \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.\end{array}

Dans le dernier cas, les deux solutions sont conjuguées. Par exemple, $z^2-4z+13=(z-(2-3i))(z-(2+3i))$, dont les racines sont $2-3i$ et $2+3i$.

Comprendre pourquoi — D’où viennent les formules du second degré

La forme canonique pour $a\ne0$ ramène l’équation à $(z+\frac b{2a})^2=\frac{\Delta}{4a^2}$. Selon le signe de $\Delta$, on factorise avec $\sqrt\Delta$ ou avec $i\sqrt{-\Delta}$ ; pour zéro, le carré est nul. Dans $\mathbb C$, $UV=0$ équivaut à $U=0$ ou $V=0$, car un facteur non nul possède un inverse. Ces factorisations donnent exactement les solutions annoncées.

Polynômes et factorisation

Un polynôme réel s'écrit $P(z)=a_nz^n+\cdots+a_0$. Si $a_n\ne0$, son degré est $n$. Une racine $\alpha$ vérifie $P(\alpha)=0$. Deux fonctions polynômes égales pour tout réel ont les mêmes coefficients ; en particulier, la fonction polynôme nulle a tous ses coefficients nuls (résultat admis).

Pour $n\geq1$ et $z,\alpha\in\mathbb C$ :

z^n-\alpha^n=(z-\alpha)\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-1-k}\alpha^k.

Par exemple, $z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4)$. Plus généralement, si $P$ a le degré $n\geq1$ et $P(\alpha)=0$, alors $P(z)=(z-\alpha)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n-1$. Ses coefficients peuvent être complexes lorsque $\alpha$ l'est.

Un polynôme non nul de degré $n$ possède au plus $n$ racines complexes distinctes. Cette borne ne garantit pas $n$ racines distinctes : $(z-1)^2$ n'en a qu'une.

Comprendre pourquoi — Pourquoi une racine donne un facteur

Soit $P(z)=\sum_{k=0}^{n}c_kz^k$ de degré $n\geq1$, avec $c_k\in\mathbb R$ et $c_n\ne0$, et une racine $\alpha\in\mathbb C$. Comme $P(\alpha)=0$ :

P(z)=P(z)-P(\alpha)=\sum_{k=1}^{n}c_k(z^k-\alpha^k).

Chaque différence $z^k-\alpha^k$ contient le facteur $z-\alpha$. On obtient donc $P(z)=(z-\alpha)Q(z)$. Le terme dominant de $Q$ est $c_nz^{n-1}$ : son degré est exactement $n-1$, même si $n=1$. Si $\alpha$ est complexe, les coefficients de $Q$ peuvent l'être aussi.