Suites : sommes et modèles d’évolution · Cours

Suite arithmétique

Une suite associe un nombre $u_n$ à chaque rang entier $n$. Le premier rang doit être précisé. Elle est arithmétique de raison réelle $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$ à tous les rangs où les termes existent.

u_n=u_p+(n-p)r\qquad(n\geq p).

Si la suite commence au rang $0$, $u_n=u_0+nr$ ; au rang $1$, $u_n=u_1+(n-1)r$. Trois nombres $a,b,c$ dans cet ordre sont arithmétiques consécutifs si $b-a=c-b$, soit $b=\frac{a+c}{2}$, leur moyenne arithmétique.

Lire et calculer une somme

Pour des rangs entiers $p\leq m$, la somme $\sum_{k=p}^{m}u_k=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_m$ contient $N=m-p+1$ termes : les deux bornes sont incluses. De $u_0$ à $u_{n-1}$ il y a $n$ termes ; de $u_0$ à $u_n$, il y en a $n+1$.

Pour une suite arithmétique :

\sum_{k=p}^{m}u_k=N\frac{u_p+u_m}{2}.

Exemple : $8+13+18=3\times\frac{8+18}{2}=39$. On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la somme utilise la moyenne des extrémités

Soit $S=\sum_{k=p}^{m}u_k$ une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, avec $p\leq m$ et $N=m-p+1\geq1$. Écrire cette même somme dans l'ordre inverse puis additionner terme à terme donne $N$ paires, toutes égales à $u_p+u_m$.

2S=N(u_p+u_m),\qquad S=N\frac{u_p+u_m}{2}.

Avec un seul terme, $p=m$ et $N=1$ : on retrouve bien $S=u_p$.

Suite géométrique à termes positifs

Une suite est géométrique de raison $q$ si $v_{n+1}=qv_n$ à tous les rangs concernés. Ici, on étudie surtout $v_p>0$ et $q>0$, qui assurent des termes strictement positifs. On retrouve $q=\frac{v_{n+1}}{v_n}$ seulement si $v_n\ne0$. La suite nulle est géométrique, mais ses quotients ne sont pas définis.

v_n=v_pq^{\,n-p}\qquad(n\geq p,\ q>0).

Au rang initial $0$, $v_n=v_0q^n$ ; au rang initial $1$, $v_n=v_1q^{n-1}$. Pour trois nombres strictement positifs $a,b,c$, le critère est $\frac ba=\frac cb$, soit $b=\sqrt{ac}$. La moyenne géométrique de $a,c\geq0$ est $\sqrt{ac}$.

Pour des termes strictement positifs, la suite croît si $q>1$, décroît si $0<q<1$, reste constante si $q=1$. Un taux décimal constant $t>-1$ correspond à $q=1+t$ ; une hausse de $20\,\%$ donne $q=1{,}2$.

Voir un exemple — Reconnaître les trois termes 12, 18 et 27

Les trois nombres sont strictement positifs. Leurs quotients successifs valent :

\frac{18}{12}=\frac{27}{18}=\frac32.

Ce sont donc trois termes géométriques consécutifs de raison $1{,}5$, et leur terme central est $\sqrt{12\times27}=\sqrt{324}=18$. Ils ne sont pas arithmétiques consécutifs : leurs écarts sont $6$ et $9$.

Somme géométrique

Pour des rangs entiers $p\leq m$, poser $N=m-p+1$. Si $q>0$ et $q\ne1$ :

\sum_{k=p}^{m}v_k=v_p\frac{1-q^N}{1-q}.

Si $q=1$, la somme vaut $Nv_p$. $v_p$ est le premier terme effectivement sommé et $N$ le nombre de termes, pas le dernier rang.

Comprendre pourquoi — Soustraire une somme géométrique décalée

Pour $q>0$ et $N\geq1$, poser $T=1+q+\cdots+q^{N-1}$. La somme de $N$ termes géométriques consécutifs commençant par $v_p$ est $S=v_pT$. Soustraire $qT$ à $T$ annule les termes intermédiaires :

\[T-qT=1-q^N.\]

Si $q\ne1$, on peut diviser par $1-q$ : $S=v_p\frac{1-q^N}{1-q}$. Si $q=1$, on additionne directement les $N$ termes égaux : $S=Nv_p$.