CoursSixième
Calculer avec les nombres décimaux
Additionner et soustraire
Une addition donne une somme ; une soustraction, une différence. Pour les poser, aligne les chiffres de même rang et les virgules. Ajoute au besoin des zéros finaux, puis calcule avec les retenues ou les échanges. Ici, on soustrait un nombre inférieur ou égal au nombre de départ ; l’ordre compte.
Comprendre pourquoi — Pourquoi les échanges conservent la quantité
On additionne ou soustrait des parts de même taille. Dix parts d’un rang s’échangent contre une part du rang voisin à gauche. Pour soustraire un nombre inférieur ou égal au nombre de départ, l’échange inverse fournit dix parts plus petites sans changer la quantité.
Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 déplace les chiffres d’un, deux ou trois rangs vers la gauche ; diviser les déplace vers la droite. Ajoute les zéros de position nécessaires. Multiplier ou diviser par 1 laisse le nombre inchangé.
Pour $a\geqslant0$, prendre ces petites parts ne fait pas grandir le nombre : $63{,}2\times0{,}01=0{,}632$. Si $a=0$, le résultat reste 0. Ajouter un zéro à la fin ne remplace pas une multiplication : $5{,}06\times10=50{,}6$.
Voir un exemple — Prévoir les zéros dans les changements de rang
Prévoir les zéros nécessaires
Le nombre $5{,}06$ contient cinq unités et six centièmes. Après multiplication par 100, les cinq unités sont devenues cinq centaines et les six centièmes sont devenus six unités.
À l’inverse, partager 47 unités en mille parts donne :
On écrit les zéros qui permettent de conserver les rangs.
Multiplier deux décimaux
Les nombres multipliés sont les facteurs ; le résultat est le produit. Multiplier par $0{,}4$ revient à prendre quatre dixièmes du nombre. Pour des décimaux positifs ou nuls, on peut changer l’ordre des facteurs et les regrouper sans changer le produit.
Pour calculer, multiplie les nombres comme des entiers, puis place autant de chiffres après la virgule qu’il y en avait au total dans les deux facteurs. Complète par des zéros si nécessaire.
Ici $6\times4=24$ et il faut trois rangs décimaux. Contrôle avec des valeurs proches faciles à calculer : $0{,}05\times0{,}4=0{,}02$. Cet ordre de grandeur repère une incohérence, sans prouver tous les chiffres.
La figure montre le sens du produit $1{,}3\times0{,}4=0{,}52$ ; multiplier deux décimaux ne se réduit pas à une addition répétée un nombre entier de fois.
Voir un exemple — Regrouper les facteurs pour obtenir 10
Un regroupement utile
Le produit de 4 et de $2{,}5$ vaut 10. On utilise ce regroupement :
Une estimation avec $1{,}7$ proche de 2 donne 20 ; le résultat 17 est cohérent.
Comprendre pourquoi — Pourquoi compter tous les rangs après les virgules
Pour des facteurs décimaux positifs ou nuls, chaque rang décimal supprimé multiplie un facteur par 10, et donc le produit par 10. Pour retrouver le produit initial, on divise le produit entier par 10 autant de fois qu’il y avait de rangs après les virgules dans les deux facteurs réunis.