CoursSixième
Divisions euclidienne et décimale
Comprendre la division euclidienne
Diviser peut chercher la valeur d’une part dans un partage égal, ou le nombre de groupes d’une taille connue. Dans une division euclidienne, le dividende $a$ est un entier naturel et le diviseur $b$ est un entier strictement positif.
$q$ est le quotient ; $r$, le reste. Exemple : $94=7\times13+3$, avec $3<7$. Un groupe supplémentaire de 7 dépasserait 94. Si $a<b$, le quotient est 0 et le reste est $a$ ; si $a=0$, quotient et reste valent 0.
Les divisions euclidiennes travaillées ici ont un diviseur entier de 1 à 99.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le diviseur euclidien ne peut pas être zéro
Dans une division euclidienne, le reste doit vérifier $0\leqslant r<b$. Avec $b=0$, il faudrait $0\leqslant r<0$, ce qui est impossible.
Effectuer une division posée
À chaque rang, cherche le plus grand nombre de groupes complets, puis soustrais. Échange le reste contre dix fois plus de parts du rang suivant et abaisse le chiffre suivant. Si aucun groupe n’est possible à un rang, écris 0 au quotient.
Pour une division décimale, écris la virgule au quotient en passant aux dixièmes. On peut ajouter des zéros finaux au dividende pour continuer. Exemple : $6{,}24\div3=2{,}08$ ; le 0 des dixièmes est indispensable.
Le quotient exact $q$ vérifie $b\times q=a$, avec $b>0$. Quand tous les chiffres du dividende sont traités et que le reste est nul, le résultat obtenu est exact. Si $0\leqslant a<b$, il est inférieur à 1 ; si $a=0$, il vaut 0.
Les divisions décimales travaillées ici ont un diviseur entier de 1 à 9.
Voir un exemple — Un quotient inférieur à une unité
Partager moins d’une unité par part
Ainsi, $3{,}6\div 8=0{,}45$, puisque $8\times 0{,}45=3{,}6$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi garder le zéro des dixièmes
Un rang vide n’est pas supprimé
Pour calculer $6{,}24\div 3$, on partage 6 unités en 3 : cela donne 2 unités. Les 2 dixièmes ne permettent pas de donner un dixième à chacune des 3 parts. On écrit donc 0 au rang des dixièmes du quotient.
Les 2 dixièmes deviennent 20 centièmes. Avec les 4 centièmes du dividende, on partage 24 centièmes, soit 8 par part.
On vérifie $3\times 2{,}08=6{,}24$.
Reconnaître une valeur approchée
Si l’on s’arrête avec un reste non nul après avoir traité les chiffres du dividende, on obtient seulement une valeur approchée. Pour arrondir à un rang, calcule un chiffre de plus : de 0 à 4, garde le rang demandé ; de 5 à 9, augmente-le de 1. Écris $\approx$ lorsque le résultat diffère du quotient exact.