Fractions : égalités, comparaison et calcul : cours de maths · Sixième

Écrire des fractions égales

Pour $a\geqslant0$, $b>0$ et $k>0$ entiers, $\dfrac ab=\dfrac{a\times k}{b\times k}$. Pour simplifier, divise les deux termes par un même diviseur commun supérieur à 1 ; les divisions doivent être exactes.

Cinq sixièmes et dix douzièmes représentent la même partie de bandes identiques.

Exemple : $\dfrac56=\dfrac{10}{12}$. Modifier un seul terme ne conserve généralement pas la fraction.

Comprendre pourquoi — Pourquoi redécouper conserve la fraction

Pour des entiers $a\geqslant0$, $b>0$ et $k>0$, partager chaque part en $k$ parts égales multiplie par $k$ le nombre de parts prises et le nombre de parts dans l’unité. La quantité représentée reste la même : $\dfrac ab=\dfrac{a\times k}{b\times k}$.

L’opération inverse est permise lorsque les deux divisions sont exactes et que le dénominateur reste non nul.

Comparer et encadrer

Pour des numérateurs positifs ou nuls et des dénominateurs positifs : à même dénominateur, compare les numérateurs ; à même numérateur non nul, la fraction au plus petit dénominateur est la plus grande. Si le numérateur est 0, toutes valent 0.

Compare aussi à 1 : numérateur inférieur, égal ou supérieur au dénominateur donne une fraction inférieure, égale ou supérieure à 1. Sinon, écris des fractions égales de même dénominateur. Range ensuite du plus petit au plus grand, ou l’inverse.

Si $a=b\times q+r$ avec $0\leqslant r<b$, alors $\dfrac ab=q+\dfrac rb$ et $q\leqslant\dfrac ab<q+1$. Exemple : $\dfrac{29}{6}=4+\dfrac56$ est entre 4 et 5. Si $r=0$, la fraction est égale à $q$.

Voir un exemple — Choisir entre les trois repères de comparaison

Choisir le repère utile

Pour $\dfrac37$ et $\dfrac57$, on compare le nombre de septièmes : $3<5$, donc $\dfrac37<\dfrac57$.

Pour $\dfrac5{11}$ et $\dfrac59$, il y a cinq parts dans les deux cas ; les onzièmes sont plus petits, donc $\dfrac5{11}<\dfrac59$.

Enfin, $\dfrac78<1$ et $\dfrac87>1$, donc $\dfrac78<\dfrac87$.

Calculer avec les fractions

Pour $a,c,k\geqslant0$ et $b>0$ entiers :

\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b},\qquad\frac ab-\frac cb=\frac{a-c}{b}\ (a\geqslant c),\qquad k\times\frac ab=\frac{k\times a}{b}.

Si les dénominateurs diffèrent, commence par trouver des fractions égales de même dénominateur. Exemple : $\dfrac56-\dfrac14=\dfrac{10}{12}-\dfrac3{12}=\dfrac7{12}$. On n’additionne pas les dénominateurs. Si $k=0$ ou $a=0$, le produit vaut 0.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le dénominateur reste le même

Pour des entiers $a,c\geqslant0$ et $b>0$, additionner $a$ parts et $c$ parts de taille $\dfrac1b$ donne $a+c$ parts de cette taille. En retirer $c$ des $a$ parts, avec $a\geqslant c$, en laisse $a-c$. Le dénominateur reste $b$ : l’unité n’a pas été redécoupée.

Repères à connaître

\frac14+\frac14=\frac12,\quad\frac12+\frac14=\frac34,\quad\frac34+\frac14=1,\quad\frac12+\frac12=1.

\frac12-\frac14=\frac14,\quad\frac34-\frac14=\frac12,\quad1-\frac14=\frac34,\quad1-\frac12=\frac12.

\frac14=0{,}25,\quad\frac12=0{,}5,\quad\frac34=0{,}75,\quad\frac32=1{,}5,\quad\frac42=2,\quad\frac52=2{,}5.

Voir un exemple — Passer du décimal aux fractions pour calculer

Choisir entre une fraction et un décimal

On lit ces égalités dans les deux sens. Par exemple, $0{,}75$ peut être remplacé par $\dfrac34$ pour comparer des parts ; $\dfrac32$ peut être remplacé par $1{,}5$ pour mesurer une longueur.

Pour calculer $1{,}5+\dfrac14$, on peut ainsi écrire :

\begin{aligned} 1{,}5+\frac14&=\frac32+\frac14\\ &=\frac64+\frac14\\ &=\frac74\\ &=\frac{7\times25}{4\times25}=\frac{175}{100}\\ &=1{,}75. \end{aligned}