CoursSixième
Distances, cercle et médiatrice
Distance, milieu et codages
Le segment $[AB]$ joint $A$ à $B$ ; sa longueur est la distance $AB=BA$. Pour mesurer, place le zéro de la règle sur une extrémité, pas son bord. Un dessin web redimensionné ne permet pas de mesurer une longueur demandée.
Le milieu $I$ de $[AB]$ appartient au segment et vérifie $AI=IB=\dfrac{AB}{2}$. L’égalité des distances seule ne suffit pas.
Des traits identiques codent des longueurs égales ; un petit carré, un angle droit ; des arcs identiques, des angles égaux. Utilise les données et les codages, sans deviner sur le dessin. Un carré est un rectangle à quatre côtés égaux.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le milieu donne deux moitiés
Si $I$ appartient à $[AB]$, alors $AI+IB=AB$. Si $AI=IB$, chaque longueur vaut $\dfrac{AB}{2}$. Réciproquement, placer $I$ sur le segment à cette distance de $A$ laisse la même distance jusqu’à $B$ : c’est le milieu.
Cercle et disque
Pour $r>0$, le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ contient les points $M$ tels que $OM=r$. Le disque contient ceux tels que $OM\leqslant r$ : l’intérieur et le bord. Le centre appartient au disque, pas au cercle.
Un rayon joint le centre à un point du cercle. Une corde joint deux points du cercle ; un diamètre est une corde passant par le centre. Sa longueur vaut $d=2r$, donc $r=\dfrac d2$. Pour tracer, garde au compas l’ouverture du rayon.
Pour respecter deux distances à deux points donnés, trace les deux cercles correspondants ; leurs points communs satisfont les deux conditions.
Voir un exemple — Choisir le rayon quand on connaît le diamètre
Régler le compas
Pour tracer un cercle de diamètre $6$ cm, on calcule son rayon :
On ouvre donc le compas de $3$ cm, et non de $6$ cm.
La médiatrice
Pour $A\ne B$, la médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu. On peut la tracer avec la règle et l’équerre.
Un point $M$ est sur cette médiatrice si et seulement si $MA=MB$. Les deux sens sont utilisables.
Au compas, trace des arcs de centres $A$ et $B$ avec la même ouverture, strictement supérieure à $\dfrac{AB}{2}$. Relie leurs deux intersections distinctes : c’est la médiatrice.
Voir un exemple — Choisir une ouverture qui donne deux intersections
Choisir l’ouverture du compas
Pour construire une médiatrice à partir de deux intersections, on choisit une même ouverture, plus grande que la moitié du segment, pour les deux centres. On vérifie que les arcs tracés donnent bien deux points distincts.
Pour un segment de 4 cm, sa moitié mesure 2 cm. Une ouverture de 2 cm ferait se rencontrer les arcs seulement au milieu : un seul point ne permettrait pas de tracer la droite cherchée. Une ouverture de $2{,}5$ cm permet ici d’obtenir deux intersections distinctes, de part et d’autre du segment.
Comprendre pourquoi — Pourquoi relier les deux intersections donne la médiatrice
Pour $A\ne B$, des arcs de centres $A$ et $B$ tracés avec la même ouverture strictement supérieure à $\dfrac{AB}{2}$ donnent deux intersections distinctes $P$ et $Q$. Les égalités $PA=PB$ et $QA=QB$ placent ces deux points sur la médiatrice de $[AB]$. Une seule droite passe par deux points distincts : $(PQ)$ est donc cette médiatrice.