Triangles : constructions et propriétés : cours de maths · Sixième

Construire un triangle

Un triangle joint trois points non alignés par trois segments. Prépare un schéma avec les longueurs et angles connus.

Avec trois longueurs : trace un côté $[AB]$, puis les arcs de centres $A$ et $B$, de rayons $AC$ et $BC$. Une intersection donne $C$, du côté demandé. Si les arcs ne se rencontrent pas, ou seulement avec $A,B,C$ alignés, aucun triangle n’est obtenu.

Le troisième sommet C est une intersection des arcs de centres A et B.

Par exemple, des longueurs 8 cm, 3 cm et 2 cm sont impossibles ; 5 cm, 3 cm et 2 cm alignent les points.

Avec deux côtés et l’angle compris, trace le premier côté, l’angle au sommet commun, puis reporte le second côté sur sa demi-droite. Avec un côté et deux angles aux extrémités, trace les deux demi-droites du même côté : leur intersection donne le troisième sommet.

Voir un exemple — Construire avec deux côtés et leur angle compris

Deux côtés et leur angle compris

Tracer $[AB]$ vertical de $3{,}2$ cm. En $A$, former à droite un angle de $65^\circ$ à partir de la direction de $B$ ; placer $C$ sur cette demi-droite à $4{,}6$ cm de $A$, puis relier $B$ à $C$. L'angle donné est bien celui entre $[AB]$ et $[AC]$.

Triangle avec côté AB vertical, angle BAC de 65 degrés et côté AC de 4,6 cm dirigé vers la droite. — L'orientation sur la feuille n'altère ni les longueurs ni l'angle.

Calculer les angles

La somme des trois angles d’un triangle vaut $180^\circ$. Pour trouver le troisième, retire les deux mesures connues de $180^\circ$. Exemple : $180^\circ-68^\circ-47^\circ=65^\circ$.

Un triangle isocèle a deux côtés égaux : les angles opposés à ces côtés, à la base, sont égaux. Un triangle rectangle a un angle de $90^\circ$ : les deux autres ont pour somme $90^\circ$. Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles de $60^\circ$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les deux autres angles totalisent 90 degrés

Notons $A$ le sommet de l’angle droit d’un triangle $ABC$. Sa mesure est $90^\circ$. La somme des trois angles vaut $180^\circ$, donc :

\begin{aligned}\widehat{ABC}+\widehat{ACB}&=180^\circ-\widehat{BAC},\\&=180^\circ-90^\circ,\\&=90^\circ.\end{aligned}

Les deux angles autres que l’angle droit ont donc pour somme $90^\circ$.

Le cercle circonscrit

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle passent par un même point $O$ : elles sont concourantes. Ce point vérifie $OA=OB=OC$.

Le cercle circonscrit est l’unique cercle passant par les trois sommets. Pour le tracer, construis deux médiatrices ; leur intersection est le centre. Prends la distance à un sommet comme rayon. Le centre peut être à l’extérieur du triangle.

Deux médiatrices se rencontrent en O ; le cercle de centre O passe par A, B et C.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les trois médiatrices passent par le même point

Dans le triangle $ABC$, soit $O$ l’intersection des médiatrices de $[AB]$ et de $[AC]$. La première donne $OA=OB$ et la seconde $OA=OC$. Ainsi $OB=OC$ : $O$ appartient aussi à la médiatrice de $[BC]$.