Longueurs, périmètres et aires : cours de maths · Sixième

Mesurer et convertir une longueur

Les unités se suivent : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Leurs préfixes sont kilo, hecto, déca, puis déci, centi, milli. Chaque pas vers une unité plus petite multiplie la mesure par 10 ; dans l’autre sens, divise par 10. La longueur reste la même.

1\text{ km}=1\,000\text{ m},\qquad1\text{ m}=10\text{ dm}=100\text{ cm}=1\,000\text{ mm}.

Pour reporter une longueur, prends l’ouverture entre ses deux extrémités au compas. Garde cette ouverture et reporte-la depuis le point de départ sur la demi-droite choisie.

Calculer un périmètre

Le périmètre $P$ est la longueur du contour. Additionne les morceaux de ce contour dans une même unité ; les jonctions intérieures de pièces accolées ne font pas partie du bord extérieur.

P_{\text{carré}}=4c,\qquad P_{\text{rectangle}}=2(L+\ell),\qquad P_{\text{disque}}=\pi d=2\pi r.

$c$ est le côté du carré ; $L$ et $\ell$, les dimensions du rectangle. Pour le disque, $d>0$ est le diamètre et $r>0$ le rayon : le périmètre est proportionnel au diamètre.

$\pi\approx3{,}14$ est une approximation. Pour un disque de diamètre 8 cm, $P=8\pi$ cm est exact ; $P\approx25{,}13$ cm est arrondi au centième. Garde la valeur exacte jusqu’à l’arrondi demandé.

Comprendre pourquoi — Retrouver le périmètre du rectangle

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ possède deux côtés de chaque longueur. Le contour mesure donc $L+\ell+L+\ell=2\times(L+\ell)$.

Mesurer et calculer une aire

L’aire mesure l’étendue d’une surface. $1\text{ cm}^2$ est l’aire d’un carré de côté 1 cm ; de même pour dm² et m². Sur un quadrillage, compte les carrés unités et assemble les morceaux sans chevauchement. Un découpage puis recollement sans déformation, perte ni chevauchement conserve l’aire ; une superposition permet de comparer des surfaces.

1\text{ m}^2=100\text{ dm}^2,\qquad1\text{ dm}^2=100\text{ cm}^2.

Un carré de côté 1 m contient dix rangées de dix carrés de côté 1 dm, soit 100 dm².

Vers l’unité d’aire voisine plus petite, multiplie par 100 ; dans l’autre sens, divise par 100. De m² en cm², fais deux étapes.

\mathcal A_{\text{rectangle}}=L\times\ell,\qquad\mathcal A_{\text{carré}}=c\times c.

Exprime les dimensions dans la même unité : des cm donnent des cm². Remplace chaque lettre par la dimension correspondante, puis calcule.

Voir un exemple — Assembler des demi-carreaux pour compter une aire

Compter une aire sur quadrillage

Sur un quadrillage à carreaux de côté $1$ cm, compter d'abord les six carreaux entiers colorés. Les quatre demi-carreaux restants s'assemblent deux par deux en deux carreaux entiers. L'aire totale vaut donc $6+2=8$ cm$^2$.

Surface polygonale colorée sur un quadrillage unitaire, comportant six carreaux pleins et quatre demi-carreaux. — Deux demi-carreaux forment un carreau entier.

Distinguer aire et périmètre

Deux figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents, et l’inverse aussi. Les rectangles de 6 cm sur 2 cm et de 4 cm sur 3 cm ont tous deux 12 cm² d’aire, mais leurs périmètres valent 16 cm et 14 cm. Calcule ces deux mesures séparément.

Voir un exemple — Un même périmètre avec deux aires différentes

Le rectangle de 6 cm sur 2 cm a un périmètre de $2\times(6+2)=16$ cm et une aire de $6\times2=12\text{ cm}^2$.

Le carré de côté 4 cm a le même périmètre, $4\times4=16$ cm, mais son aire vaut $4\times4=16\text{ cm}^2$. Le périmètre ne suffit donc pas pour connaître l’aire.