CoursCinquième
Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Multiples et diviseurs
Pour des entiers $a\geq0$ et $b>0$, si $a=b\times q$ avec $q$ entier positif ou nul, alors $a$ est un multiple de $b$ et $b$ un diviseur de $a$. Un entier strictement positif est divisible par 1 et par lui-même ; 0 est un multiple de tout entier strictement positif.
Les multiples de 6 sont $0,6,12,18,\ldots$. Les diviseurs d’un entier $a>0$ sont compris entre 1 et $a$. Un produit fournit une paire de diviseurs : $42=6\times7$ ; il donne aussi une factorisation en deux facteurs supérieurs à 1.
Quotient et reste
Diviser un entier $a\geq0$ par un entier $b>0$ donne un unique quotient entier $q\geq0$ et un unique reste $r$ :
Cherche deux multiples consécutifs qui encadrent $a$. Par exemple, $56\leq59<63$ donne $59=7\times8+3$ : quotient 8, reste 3. Le quotient exact $\frac{59}{7}$ n’est donc pas 8. Si $a<b$, $q=0$ et $r=a$. La division est exacte (divisibilité) si et seulement si $r=0$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi une division est exacte si et seulement si le reste est nul
Pour des entiers $a\geq0$ et $b>0$, un reste nul donne $a=bq$ avec $q$ entier positif ou nul : $a$ est donc divisible par $b$.
Réciproquement, si $a=bk$ avec $k$ entier positif ou nul, l’écriture $a=bk+0$ satisfait $0\leq0<b$. Par unicité du quotient et du reste euclidiens, le reste vaut 0. Cela inclut $a=0$.
Tester la divisibilité
Pour un entier positif ou nul : divisible par 2 si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s’il est 0 ou 5 ; par 10 s’il est 0.
Pour 3 ou 9, additionne tous les chiffres : l’entier est divisible par 3 (respectivement 9) si et seulement si cette somme l’est. Ces critères valent aussi pour 0. Ainsi, finir par 3 ne suffit pas : la somme des chiffres de 43 est 7.
Voir un exemple — Tester 2, 5 et 10 à partir du chiffre des unités
Trois réponses à partir d’un seul chiffre
Le nombre $2\,370$ se termine par $0$ : il est divisible par $2$, par $5$ et par $10$.
Le nombre $2\,375$ se termine par $5$ : il est divisible par $5$, mais pas par $2$ ni par $10$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi additionner les chiffres teste 3 et 9
Comprendre la propriété
Dans l’écriture décimale d’un entier, remplacer une dizaine, une centaine ou un millier par une unité retire respectivement $9$, $99$ ou $999$. Ces nombres sont tous des multiples de $9$, donc aussi de $3$.
En faisant ce remplacement à chaque rang, il reste la somme des chiffres. Retirer ou remettre ces groupes complets ne change pas la divisibilité par $3$ ou par $9$ : les critères fonctionnent dans les deux sens, y compris pour $0$.