CoursCinquième
Addition et soustraction de nombres relatifs
Additionner des relatifs
Sur une droite graduée, ajouter un positif déplace vers la droite ; ajouter un négatif, vers la gauche. Ajouter 0 ne change rien.
Même signe : additionne les distances à 0 et garde le signe. Signes contraires : soustrais la plus petite distance de la plus grande et garde le signe du nombre le plus éloigné de 0. Deux opposés ont pour somme 0.
Dans une somme, on peut changer l’ordre et regrouper les termes. Par exemple, $(-3)+5+3=5$ en regroupant les deux opposés.
Voir un exemple — Additionner deux décimaux négatifs
Deux décimaux négatifs
Pour $(-2{,}6)+(-1{,}8)$, les deux signes sont négatifs. On calcule d’abord la longueur totale : $2{,}6+1{,}8=4{,}4$. Ainsi,
Soustraire et calculer une variation
La différence $a-b$ est le nombre qu’il faut ajouter à $b$ pour obtenir $a$. Soustraire $b$ revient à ajouter son opposé : $a-b=a+(-b)$. Si $a=b$, la différence est 0 ; si $b=0$, elle est $a$.
Dans une même unité, variation = valeur finale − valeur initiale. Une variation strictement positive indique une hausse, strictement négative une baisse, nulle aucune variation.
Voir un exemple — Soustraire un négatif et contrôler par addition
Soustraire un négatif
L’opposé de $-4{,}2$ est $+4{,}2$. On obtient
On contrôle : $(-4{,}2)+2{,}7=-1{,}5$.
Comprendre pourquoi — Comprendre la soustraction en passant par zéro
Comprendre la propriété
La différence $a-b$ représente le déplacement signé qui conduit de $b$ à $a$. Passer par zéro donne d’abord le déplacement $-b$, puis le déplacement $a$ : le total est $(-b)+a=a+(-b)$.
Le trajet direct et le détour par zéro ont le même départ et la même arrivée. Si $b=0$, on retrouve $a$ ; si $a=b$, le déplacement est nul.
Garder le sens des parenthèses
Pour $b\geq0$ : $a+(+b)=a+b$, $a+(-b)=a-b$, $a-(+b)=a-b$, $a-(-b)=a+b$. Conserve les parenthèses qui regroupent un calcul jusqu’à l’avoir effectué ou transformé correctement.
$8-(2-5)=8-(-3)=11$ ; supprimer directement la parenthèse donnerait un autre calcul. La soustraction ne permet pas de changer librement l’ordre des nombres. Pour regrouper une chaîne, transforme d’abord chaque soustraction en addition de l’opposé ; chaque terme garde ensuite son signe.