CoursCinquième
Fractions et nombres rationnels
Fraction et quotient
Partager une unité en $b>0$ parts égales puis prendre $a\geq0$ parts donne $\frac{a}{b}$ : $a$ est le numérateur, $b$ le dénominateur (entiers). Une fraction est un quotient de deux entiers ; un nombre rationnel peut s’écrire ainsi.
Le quotient $\frac{a}{b}$, pour $b\neq0$, est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$. La barre regroupe tout le numérateur et tout le dénominateur : $\frac{2+5}{3}=\frac{7}{3}$. Aucun dénominateur ne peut être nul.
Écritures exactes et repérage
Plusieurs écritures représentent le même nombre : $\frac54=1{,}25$. Certaines fractions n’ont pas d’écriture décimale finie : $\frac13$ ne vaut pas exactement $0{,}33$.
Pour $a\geq0$ entier et $b>0$ entier, si $a=bq+r$ avec $0\leq r<b$, alors $\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}$. Si $r=0$, c’est l’entier $q$. Sur une droite graduée, partage chaque unité en $b$ intervalles égaux et compte $a$ intervalles pour placer $\frac{a}{b}$.
Voir un exemple — Décomposer 17 cinquièmes en unités et fraction
Séparer les unités entières
La division euclidienne donne $17=5\times3+2$. Les 17 cinquièmes contiennent donc 3 unités et 2 cinquièmes supplémentaires :
L’écriture mixte permet de voir immédiatement que $3<\frac{17}{5}<4$.
Comparer des fractions
Pour $a\geq0$, $b>0$, compare $a$ et $b$ pour comparer $\frac{a}{b}$ à 1. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même entier $k>0$ conserve la fraction ; les diviser par un diviseur commun positif aussi.
Pour comparer deux fractions positives, transforme-les en fractions égales de même dénominateur, puis compare leurs numérateurs. Un multiple commun positif convient ; le produit des dénominateurs en est toujours un. Ajouter le même nombre en haut et en bas n’est pas une règle pour obtenir une fraction égale.
Comprendre pourquoi — Pourquoi changer la taille des parts conserve la fraction
Comprendre la propriété
On garde la même unité. Pour $a\geq0$ entier et $b,k>0$ entiers, découper chacune des $b$ parts en $k$ parts transforme $a$ parts prises en $ak$ petites parts, sur $bk$ au total. La quantité reste la même : $\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}$.
Regrouper les parts par $k$ donne la transformation inverse si $k$ est un diviseur commun de $a$ et $b$. On peut alors diviser les deux termes par $k$. Le raisonnement vaut aussi pour une quantité nulle ou répartie sur plusieurs unités identiques.
Additionner ou soustraire
Mets d’abord les fractions au même dénominateur, puis additionne ou soustrais seulement les numérateurs. Pour la soustraction, on garde ici la première fraction supérieure ou égale à la seconde.
$\frac15+\frac25=\frac35$ : le dénominateur ne s’additionne pas. Avec des dénominateurs différents : $\frac25+\frac14=\frac8{20}+\frac5{20}=\frac{13}{20}$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le dénominateur reste le même
Pour des entiers $a,c\geq0$ et $b>0$, les deux fractions comptent des parts de taille $\frac1b$ d’une même unité. Réunir $a$ parts et $c$ parts donne $a+c$ parts : $\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b}$, même si une collection est vide ou si le total dépasse une unité.
Si $a\geq c$, retirer $c$ parts laisse $a-c$ parts : $\frac ab-\frac cb=\frac{a-c}{b}$. Si $a=c$, il ne reste rien ; si $c=0$, la quantité ne change pas. Le partage de l’unité reste le même : le dénominateur reste $b$.
Prendre une fraction ou un pourcentage
Pour une quantité $Q\geq0$, prendre $\frac{a}{b}$ ($a\geq0$, $b>0$ entiers) revient à calculer $\frac{Q}{b}\times a$, en gardant l’unité. Distingue la quantité prise du reste.
$p\,\%=\frac{p}{100}$. Une fréquence vaut $\frac{\text{effectif de la catégorie}}{\text{effectif total}}$, avec un total non nul. Prendre 1 %, 10 % ou 50 % revient à diviser la quantité par 100, 10 ou 2.