CoursCinquième
Carrés, cubes et puissances
Carré et cube
Pour $a\geq0$, le carré est $a^2=a\times a$ et le cube est $a^3=a\times a\times a$. $a$ est la base ; 2 ou 3 est l’exposant, qui compte les facteurs égaux. Le carré n’est pas le double : $5^2=25$, alors que $2\times5=10$.
Le cube de 10 est $10^3=1\,000$.
Carrés à connaître
Pour les entiers de 0 à 6 : $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$.
De 7 à 12 : $7^2=49$, $8^2=64$, $9^2=81$, $10^2=100$, $11^2=121$, $12^2=144$.
Calculer une expression
Calcule les parenthèses, puis les carrés et cubes, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, avance de gauche à droite. Dans $(a+b)^2$, la base est toute la somme.
Dans une formule, remplace chaque lettre par sa valeur partout où elle apparaît. Si $a=3$, alors $a^2+2\times a=9+6=15$.
Voir un exemple — Distinguer 3 × 2² et (3 × 2)²
Repérer exactement la base
Dans $3\times2^2$, seule la base 2 est élevée au carré :
Dans $(3\times2)^2$, la base est le produit entier $3\times2$ :
Les deux expressions ne représentent pas le même calcul.
Convertir aires et volumes
L’unité carrée mesure une aire, l’unité cubique un volume. Quand la longueur de l’unité est divisée par 10, le nombre d’unités d’aire est multiplié par 100, celui d’unités de volume par 1 000. Dans l’autre sens, divise par 100 ou 1 000.
La capacité est le volume qu’un récipient peut contenir : $1\ \mathrm{L}=1\ \mathrm{dm}^3$, $1\ \mathrm{L}=1\,000\ \mathrm{mL}$ et $1\ \mathrm{mL}=1\ \mathrm{cm}^3$. Ces conversions changent la mesure, pas la quantité, et valent aussi pour 0.
Comprendre pourquoi — Pourquoi les conversions utilisent 100 et 1 000
Un carré de 1 dm de côté a un côté de 10 cm. Son quadrillage comporte 10 rangées de 10 carrés de 1 cm de côté, sans manque ni chevauchement : $1\,\mathrm{dm}^2=100\,\mathrm{cm}^2$.
Pour un cube, les trois dimensions donnent 10 rangées par couche, 10 petits cubes par rangée et 10 couches : $10^3=1\,000$ petits cubes.
On change l’unité, pas l’aire ou le volume. La conversion vaut aussi pour une mesure décimale ou nulle ; revenir à l’unité précédente utilise l’opération inverse.