Expressions littérales, formules et distributivité

Comprendre une expression littérale

Une expression littérale contient des lettres représentant des nombres. Une variable peut prendre différentes valeurs ; dans une même expression, une même lettre garde la même valeur. Une formule exprime une relation ; définis le rôle des lettres avant de l’utiliser. Dans « le point A », la lettre désigne un objet ; dans « 5 m », m est un symbole d’unité.

Pour calculer, remplace chaque apparition de la lettre par sa valeur, puis respecte les parenthèses et les priorités. $k\times u$ peut aussi s’écrire $ku$. L’opération effectuée en dernier distingue somme et produit : $2\times x+1$ est une somme, $2\times(x+1)$ un produit.

Lire une régularité

Dans une suite de motifs, repère ce qui reste fixe et ce qui se répète. Une rangée de $n$ carrés voisins partageant un côté en allumettes utilise 4 allumettes pour le premier, puis 3 par carré ajouté : $3\times n+1$ pour $n\geq1$.

Développer, factoriser et réduire

Pour $k,a,b\geq0$, la distributivité donne $k(a+b)=ka+kb$ ; avec $a\geq b$, $k(a-b)=ka-kb$. Développer transforme un produit en somme ou différence ; factoriser fait l’inverse en repérant un facteur commun.

Réduire regroupe les termes de même nature : multiples d’une même lettre ensemble, nombres seuls ensemble. $3\times x+2\times x+4=5\times x+4$. Pour $x\geq0$, dans une différence, $3\times x-x=2\times x$ ; $x$ signifie $1\times x$.

Tester une égalité et raisonner

Une égalité affirme que ses deux membres ont la même valeur. Pour la tester à une valeur donnée, calcule les deux membres séparément. Quelques tests réussis ne prouvent pas une affirmation générale ; une démonstration doit couvrir toutes les valeurs autorisées.

Un seul contre-exemple autorisé suffit à réfuter une affirmation générale. Avec $x=3$, $x^2=9$ et $2x=6$ : $x^2=2x$ n’est pas vraie pour tout $x$ positif. Une conjecture est une affirmation suggérée par des observations, encore à démontrer.