CoursCinquième
Symétrie centrale, angles et parallélisme
Symétrie par rapport à un axe
Si $A$ est hors de l’axe $d$, son symétrique $A'$ est de l’autre côté, sur la perpendiculaire à $d$ passant par $A$, à la même distance de l’axe. Ainsi $d$ est la médiatrice de $[AA']$. Un point sur l’axe reste fixe.
Sur feuille blanche, trace cette perpendiculaire, puis reporte la distance au compas. Pour une figure, construis les images des sommets et relie-les dans le même ordre ; sur quadrillage, respecte aussi la direction perpendiculaire pour un axe diagonal.
Symétrie centrale : un demi-tour
Le symétrique $A'$ de $A$ par rapport au centre $O$ vérifie : $O$ est le milieu de $[AA']$. Si $A\neq O$, prolonge $(AO)$ au-delà de $O$ et reporte $OA$. Le centre $O$ reste fixe.
Le demi-tour conserve alignements, longueurs, angles, périmètres et aires. L’image d’une droite est parallèle à elle ; si elle passe par $O$, elle est inchangée. Un cercle garde son rayon et son centre devient le symétrique du centre initial. $O$ est un centre de symétrie d’une figure si le demi-tour la fait coïncider avec elle-même.
Nommer et mesurer un angle
Dans $\widehat{AOB}$, $O$ est le sommet et les demi-droites $[OA)$ et $[OB)$ sont les côtés. En degrés : nul $0^\circ$, aigu entre $0^\circ$ et $90^\circ$, droit $90^\circ$, obtus entre $90^\circ$ et $180^\circ$, plat $180^\circ$, plein $360^\circ$. Nul et plein ont leurs côtés superposés, mais ne sont pas le même angle.
Les équerres usuelles portent $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ ou $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.
Relations entre angles
Deux angles adjacents ont même sommet, un côté commun et sont de part et d’autre de ce côté sans chevauchement. Deux angles supplémentaires ont une somme de $180^\circ$ ; ils ne sont pas forcément adjacents.
Deux angles opposés par le sommet ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre : leurs mesures sont égales. La bissectrice partage un angle en deux angles adjacents égaux, chacun de mesure moitié.
Comprendre pourquoi — Pourquoi les angles opposés par le sommet sont égaux
Les angles $\alpha$ et $\gamma$ sont adjacents et supplémentaires ; il en est de même de $\beta$ et $\gamma$. Ainsi :
On obtient $\alpha=180^\circ-\gamma$ et $\beta=180^\circ-\gamma$. Donc $\alpha=\beta$.
Angles et droites parallèles
Une sécante coupe deux droites en deux points distincts. Les angles alternes-internes sont entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante. Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, dans la même position aux deux intersections.
Les droites sont parallèles si et seulement si deux angles alternes-internes ont même mesure ; le même critère vaut pour deux angles correspondants. Vérifie leur position : deux angles quelconques égaux ne suffisent pas. Pour justifier, utilise les données ou les codages, pas une mesure approximative du dessin.