Triangles : constructions, angles et cercle circonscrit

Triangles particuliers et angles

Un triangle isocèle a au moins deux côtés égaux ; le sommet où ils se rejoignent est son sommet principal. Un équilatéral a trois côtés égaux et est aussi isocèle. Un triangle rectangle a un angle droit ; le côté opposé est l’hypoténuse. Il peut aussi être isocèle. Les codages ou données justifient la nature.

Dans un triangle non aplati, les trois angles sont strictement positifs et leur somme vaut $180^\circ$. Le troisième vaut $180^\circ-(\alpha+\beta)$. Dans un isocèle, les angles à la base sont égaux ; dans un équilatéral, chacun vaut $60^\circ$.

Si l’angle principal d’un isocèle vaut $40^\circ$, chaque angle à la base vaut $\frac{180-40}{2}=70^\circ$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les angles d’un triangle totalisent 180°

Comprendre la propriété

Par le sommet $A$ d’un triangle non aplati $ABC$, trace la parallèle à $(BC)$. Les angles alternes-internes permettent d’y reporter en $A$ les angles situés en $B$ et en $C$.

Ces deux angles et l’angle $\widehat{BAC}$ sont adjacents et forment un angle plat. Leur somme vaut donc $180^\circ$, quelle que soit la forme du triangle.

Construire avec trois longueurs

Pour $AB=6$ cm, $AC=5$ cm et $BC=4$ cm, trace $[AB]$, puis un arc de centre $A$ de rayon 5 cm et un arc de centre $B$ de rayon 4 cm. Leur intersection donne $C$ ; relie les trois sommets. Les deux rayons garantissent les longueurs données. L’autre intersection donne le triangle symétrique par rapport à $(AB)$.

Médiatrice : milieu et perpendiculaire

Pour $A\neq B$, la médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par son milieu : les deux conditions sont nécessaires. Un point $M$ y appartient si et seulement si $MA=MB$.

Au compas, garde le même rayon, strictement supérieur à la moitié de $AB$, pour tracer deux arcs de centres $A$ et $B$. La droite qui relie leurs deux intersections est la médiatrice.

Cercle circonscrit

Un cercle circonscrit passe par les trois sommets d’un triangle. Son centre est à égale distance de ces sommets. Dans un triangle isocèle non aplati, construis les médiatrices de deux côtés : leur intersection est le centre de l’unique cercle circonscrit. Il est sur l’axe de symétrie et peut être extérieur au triangle.