CoursCinquième
Hauteurs, médianes et aire du triangle
Hauteurs et orthocentre
Dans un triangle non aplati, la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. Son intersection avec cette droite est le pied. Le mot hauteur peut aussi désigner le segment ou sa longueur.
Le pied peut être sur le côté, sur son prolongement ou à un sommet. Les trois hauteurs passent par un même point : l’orthocentre (résultat admis), qui peut être intérieur ou extérieur.
Aire : associer la bonne base et sa hauteur
Pour une base de longueur $b$ et sa hauteur perpendiculaire $h$, exprimées dans la même unité :
Le pied peut être extérieur ; un côté oblique n’est pas une hauteur. Changer de base impose de changer de hauteur correspondante. Avec $b=6$ cm et $h=4$ cm, l’aire vaut $\frac{6\times4}{2}=12$ cm². Les unités carrées ne se convertissent pas comme les longueurs : $1\ \mathrm{dm}^2=100\ \mathrm{cm}^2$.
Voir un exemple — Changer de base, convertir puis retrouver une autre hauteur
Une aire, deux bases possibles
Dans le triangle $ABC$, $AH$ est la hauteur associée à $BC$ et $BK$ celle associée à $AC$. Si $BC=0{,}84$ dm, $AH=5$ cm et $AC=7$ cm, on convertit d'abord $BC=8{,}4$ cm. L'aire vaut $\frac{8{,}4\times5}{2}=21$ cm², soit $0{,}21$ dm².
En reprenant la même aire avec la base $AC$, l'égalité $\frac{7\times BK}{2}=21$ donne $BK=6$ cm. Les deux couples conduisent à une aire identique ; la hauteur ne se choisit pas indépendamment de la base.
Comprendre pourquoi — Pourquoi l’aire vaut la moitié du produit base-hauteur
Comprendre la propriété
Une diagonale partage un rectangle en deux triangles superposables. Chacun a pour aire la moitié du produit des deux côtés perpendiculaires : $\frac{u\times v}{2}$.
Pour un triangle quelconque, note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ sur la droite $(BC)$ et $h=AH$. Si $H$ appartient à $[BC]$, additionne les aires des deux triangles rectangles : $\frac{BH\times h}{2}+\frac{HC\times h}{2}=\frac{BC\times h}{2}$. Si $H$ est un sommet de la base, le triangle est déjà rectangle.
Si $H$ est à l’extérieur, du côté de $B$, retire le petit triangle rectangle du grand : $\frac{HC\times h}{2}-\frac{HB\times h}{2}=\frac{BC\times h}{2}$. De l’autre côté, on échange $B$ et $C$.
Médianes et triangles particuliers
Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; elle n’est pas forcément perpendiculaire à ce côté. Il y en a trois. Elle partage le triangle en deux triangles d’aires égales : ils ont des bases égales et la même hauteur.
Dans un isocèle, la médiane du sommet principal est aussi une hauteur et un axe de symétrie ; dans un équilatéral, c’est vrai des trois médianes. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit portent deux hauteurs et l’orthocentre est le sommet droit.