Parallélogrammes et quadrilatères particuliers

Reconnaître un parallélogramme

On considère des quadrilatères convexes non aplatis, dont les sommets sont nommés dans l’ordre du contour. Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Une diagonale relie deux sommets non voisins.

Ses diagonales ont le même milieu, qui est son centre de symétrie. Ses côtés opposés et ses angles opposés sont égaux ; deux angles consécutifs ont une somme de $180^\circ$.

Réciproquement, un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme ; il en est aussi un si ses côtés opposés sont égaux deux à deux. Pour construire à partir du milieu, place les sommets opposés comme symétriques autour de ce point.

Rectangle, losange et carré

Un rectangle a quatre angles droits ; un losange, quatre côtés égaux. Un carré possède les deux propriétés : il est rectangle et losange. Ces trois figures sont des parallélogrammes ; elles en gardent donc toutes les propriétés.

Justifier une nature particulière

Une fois le parallélogramme établi : un angle droit ou des diagonales égales permettent de reconnaître un rectangle ; deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires permettent de reconnaître un losange.

Parmi les parallélogrammes, des diagonales égales caractérisent le rectangle, des diagonales perpendiculaires le losange, et les deux conditions ensemble le carré. Ces critères fonctionnent dans les deux sens. Sans la condition de parallélogramme, égalité ou perpendicularité seules ne suffisent pas. Utilise les données ou codages justifiés.

Voir un exemple — Justifier successivement parallélogramme, rectangle, losange et carré

Qualifier un quadrilatère dans l'ordre

Si les quatre demi-diagonales sont égales, les diagonales se coupent en leur milieu : le quadrilatère est d'abord un parallélogramme. Ses diagonales de même longueur en font un rectangle ; leur perpendicularité en fait aussi un losange. Il est donc un carré. Si chaque demi-diagonale vaut $2{,}7$ cm, alors $BD=5{,}4$ cm.

Autres contours à reconnaître

Un trapèze a au moins une paire de côtés opposés parallèles. Un pentagone a cinq côtés ; un hexagone en a six.

Calculer une aire

Pour un parallélogramme, $\mathcal A=b\times h$, où $b$ est une base et $h$ la distance perpendiculaire entre les droites portant cette base et le côté opposé. Utilise la même unité de longueur ; le résultat est dans l’unité carrée. Le côté oblique ne remplace pas $h$.

Une figure composée peut se décomposer en surfaces connues sans chevauchement : additionne leurs aires ; pour un évidement, soustrais l’aire retirée. Convertis d’abord les longueurs, par exemple $60$ mm $=6$ cm.