CoursCinquième
Solides, patrons, volumes et capacités
Reconnaître les solides
Un pavé droit a six faces rectangulaires, huit sommets et douze arêtes. Un cube est un pavé dont les six faces sont carrées et les douze arêtes égales.
Un prisme droit a deux bases polygonales parallèles et superposables, et des faces latérales rectangulaires. Un cylindre de révolution a deux bases en forme de disques parallèles et superposables, et une surface latérale courbe. Leur hauteur est la distance perpendiculaire entre les bases ; le rayon du cylindre est celui de ses disques.
Une perspective représente le solide sur une feuille : elle déforme certaines longueurs et certains angles. Pour calculer, utilise les dimensions données, jamais une mesure sur le dessin.
Lire un empilement de cubes
Une vue dépend de la direction d’observation ; des cubes peuvent en cacher d’autres. Si chaque colonne part du sol sans vide, additionne toutes ses hauteurs, y compris les colonnes cachées. Une vue de dessus montre les emplacements occupés, sans donner leurs hauteurs ; une vue de face ou de côté garde la hauteur maximale dans sa direction.
Reconnaître un patron
Un patron reconstitue la surface d’un solide par pliage ou enroulement sans chevauchement. Les bords qui se rejoignent doivent avoir la même longueur. Six carrés ne suffisent pas à prouver qu’un assemblage est un patron de cube.
Pour un cylindre de rayon $r>0$ et de hauteur $h>0$, le patron comprend deux disques de rayon $r$ et un rectangle de côtés $h$ et $2\pi r$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le rectangle du patron mesure h et 2πr
On considère un cylindre de rayon $r>0$ et de hauteur $h>0$. On déroule sa surface latérale sans l'étirer, puis on imagine l'enrouler à nouveau.
Un côté du rectangle fait exactement un tour du cercle de base. Sans étirement, sa longueur est donc le périmètre de ce cercle.
La formule du périmètre d'un cercle de rayon $r$ donne :
L'autre côté du rectangle relie les deux bases perpendiculairement : il mesure la hauteur $h$. Deux disques de rayon $r$ ferment les extrémités. Le patron comporte donc ce rectangle et ces deux disques.
Mesurer et convertir un volume
Le volume mesure l’espace occupé ; la capacité est le volume qu’un récipient peut contenir. Entre unités cubiques successives, multiplie par 1 000 vers la plus petite et divise par 1 000 vers la plus grande.
Vérifie l’exposant : pour des unités voisines, le facteur est 10 en longueur, 100 en aire, 1 000 en volume.
Voir un exemple — Convertir des mètres cubes et des centimètres cubes en litres
Du volume à la contenance
Pour convertir $0{,}036\,\mathrm{m}^3$ en litres, on utilise $1\,\mathrm{m}^3=1\,000\,\mathrm{L}$ :
Le volume correspond donc à $36\,\mathrm{L}$.
Pour convertir $875\,\mathrm{cm}^3$ en litres, on divise par $1\,000$ :
On peut aussi écrire $875\,\mathrm{cm}^3=875\,\mathrm{mL}$.
Volumes du prisme, du pavé et du cube
Pour un prisme droit, $V=\mathcal B\times h$, où $\mathcal B>0$ est l’aire d’une base et $h>0$ la hauteur entre les bases. Une base en cm² et une hauteur en cm donnent un volume en cm³.
Toutes les dimensions sont strictement positives, dans la même unité. Un cube d’arête 2,5 cm a pour volume $2{,}5^3=15{,}625$ cm³. La hauteur du prisme ne se confond pas avec une hauteur du triangle de base.
Disque et cylindre
Pour un rayon $r>0$, l’aire du disque est $\mathcal A=\pi r^2$. Pour un cylindre de hauteur $h>0$, le volume est cette aire multipliée par $h$ :
Si le diamètre $d$ est donné, prends $r=\frac{d}{2}$. Exprime rayon et hauteur dans la même unité ; l’aire est dans l’unité carrée, le volume dans l’unité cubique. Garde $\pi$ pour une valeur exacte ; arrondis seulement à la fin si demandé.