CoursCinquième
Proportionnalité, pourcentages, échelles et vitesse
Reconnaître la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si un même coefficient $k$ permet de passer de chaque valeur $x$ à la valeur correspondante $y$ : $y=k\times x$. Le coefficient dépend du sens choisi et des unités.
Dans un tableau, les quotients $\frac{y}{x}$ doivent être égaux pour tous les $x\neq0$ ; chaque $x=0$ doit correspondre à $y=0$. Si tous les $x$ sont nuls, tous les $y$ doivent l’être aussi et le coefficient n’est pas unique.
Comprendre pourquoi — Pourquoi les quotients constants caractérisent la proportionnalité
Comprendre la propriété
Lorsque $x\neq0$, l’égalité $\frac{y}{x}=k$ signifie que $y=kx$. Lorsque $x=0$, cette même relation impose $y=0$, sans effectuer de division.
Les deux vérifications réunies assurent donc qu’un même coefficient convient à toutes les colonnes. Une colonne avec $x\neq0$ suffit à fixer ce coefficient de façon unique.
Calculer une valeur manquante
Dans une situation déjà reconnue proportionnelle, on peut multiplier ou diviser les deux valeurs correspondantes par le même nombre (diviseur non nul), additionner deux colonnes, ou revenir à une unité. Choisis la procédure la plus simple avec les données.
Si 2 objets coûtent 6 €, un objet coûte 3 € et 5 objets coûtent $5\times3=15$ €. Les quantités calculées doivent rester possibles dans la situation.
Proportions et pourcentages
Une proportion compare une partie au total, qui doit être non nul. Un pourcentage exprime cette proportion sur 100.
Pour prendre une fraction $\frac{a}{b}$ d’une quantité $Q\geq0$ ($a\geq0$, $b>0$), calcule $Q\times\frac{a}{b}$. Pour $t\,\%$, calcule $Q\times\frac{t}{100}$. Prendre 1 %, 10 % ou 50 % revient à diviser par 100, 10 ou 2.
Parmi 30 livres, 12 manuels représentent $\frac{12}{30}=0{,}4=40\,\%$. Prendre 40 % de 30 redonne $30\times\frac{40}{100}=12$.
Lire un graphique
Dans un repère à graduations régulières, des données sont proportionnelles si leurs points sont alignés sur une même droite non verticale passant par l’origine. L’alignement seul ne suffit pas. Un point $(x;y)$ associe $x$ à l’axe horizontal et $y$ à l’axe vertical.
Pour des achats entiers, seuls les points correspondants sont des données. Une lecture imprécise se vérifie avec le tableau ; elle ne prouve rien sur des valeurs non observées.
Utiliser une échelle
L’échelle est le coefficient qui donne les longueurs du plan à partir des longueurs réelles. Les deux longueurs sont exprimées dans la même unité et la longueur réelle est strictement positive :
À l’échelle $1:2\,000$, 1 cm sur le plan représente 2 000 cm, soit 20 m. Du plan au réel, multiplie par 2 000 ; du réel au plan, divise par 2 000.
Vitesse, distance et durée
Pour une distance $d\geq0$ et une durée $t>0$, la vitesse moyenne vaut $v=\frac{d}{t}$. Utilise des kilomètres et des heures pour obtenir des kilomètres par heure. La moyenne n’est pas la vitesse à chaque instant.
36 km en 1 h 30 min : $t=1+\frac{30}{60}=1{,}5$ h, donc $v=\frac{36}{1{,}5}=24$ kilomètres par heure. Attention : 1 h 30 min ne vaut pas 1,30 h.
À vitesse constante, $d=v\times t$ (aussi pour $t=0$). Pour $v>0$, $t=\frac{d}{v}$. Si $v=0$, la distance reste nulle et on ne peut pas retrouver la durée par division.
Comprendre pourquoi — Passer de la vitesse à la distance et à la durée
À vitesse constante $v$, avec des unités cohérentes et $t>0$, on a $v=\frac{d}{t}$ : multiplier par $t$ donne $d=vt$. Le coefficient $v$ étant constant, la distance est proportionnelle à la durée. Pour $t=0$, la distance est nulle et $d=vt$ reste valable.
Si $v>0$, diviser $d=vt$ par $v$ donne $t=\frac{d}{v}$. Si $v=0$, alors $d=0$ pour toute durée ; une division par la vitesse ne permet pas de retrouver $t$.