Fractions : produits, quotients et inverse : cours de maths · Quatrième

Rationnels et fractions égales

Un nombre rationnel peut s’écrire $\frac ab$, où $a,b$ sont des entiers relatifs et $b\ne0$. $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur. La fraction désigne le quotient : $b\times\frac ab=a$. Ainsi $5=\frac51$ et $\frac07=0$.

Multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par le même nombre non nul conserve la valeur. Simplifier consiste à retirer un facteur commun :

-\frac{42}{30}=-\frac75,\qquad\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac ab,\qquad\frac{-a}{-b}=\frac ab\quad(b\ne0).

On simplifie des facteurs, pas des termes d’une somme. Pour comparer, additionner ou soustraire, choisir un dénominateur commun positif ; comparer ou regrouper alors les numérateurs. Prendre les opposés inverse l’ordre.

\frac56>\frac79,\qquad\frac56-\frac79=\frac{15}{18}-\frac{14}{18}=\frac1{18}.

Multiplier et prendre une fraction

Pour $b,d\ne0$, multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Les numérateurs peuvent être nuls. Simplifier les facteurs avant le calcul si c’est utile.

\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd},\qquad-\frac79\times\frac3{14}=-\frac16.

Prendre $\frac pq$ d’une quantité $Q\ge0$, avec $p\ge0$ et $q>0$ entiers, revient à calculer $\frac pq\times Q$. La fraction peut dépasser 1 ; si $p=0$, le résultat est nul.

Prendre les trois quarts des deux tiers d’une unité donne :

\frac34\times\frac23=\frac12.

Le rectangle possède 12 cases égales. Les 2 premières colonnes en contiennent 8 ; trois bandes sur quatre de ces colonnes en contiennent 6.

Comprendre pourquoi — Contrôler le produit de deux fractions

Comprendre la justification

Pour $b\ne0$ et $d\ne0$, multiplier le produit $\dfrac ab\times\dfrac cd$ par $bd$ redonne $ac$. Il est donc égal au quotient $\dfrac{ac}{bd}$. Les numérateurs peuvent être nuls.

Inverse et division

L’inverse d’un nombre non nul $a$ est $\frac1a$ : leur produit vaut 1. Zéro n’a pas d’inverse. Pour $a,b\ne0$, l’inverse de $\frac ab$ est $\frac ba$. L’opposé annule une somme ; l’inverse donne un produit égal à 1.

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. On inverse seulement le diviseur :

\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc\quad(b,c,d\ne0),\qquad-\frac8{15}\div\frac49=-\frac65.

Comprendre pourquoi — Pourquoi multiplier par l’inverse du diviseur

Comprendre la justification

Pour $y\ne0$, multiplie $x\times\dfrac1y$ par $y$ : tu retrouves $x$. Ce nombre est donc le quotient de $x$ par $y$. Dans une division de fractions, seul le diviseur est inversé.

Enchaîner les opérations

Calculer les parenthèses, puis les produits et quotients de gauche à droite, enfin les sommes et différences. Avec une grande barre de fraction, calculer d’abord tout le numérateur et tout le dénominateur ; ce dernier doit être non nul.

\frac56-\frac34\times\frac29=\frac56-\frac16=\frac23.

Voir un exemple — Une fraction au dénominateur

Lire la barre de fraction principale

On considère l'expression :

D=\frac{\dfrac34-\dfrac12}{\dfrac25}.

La barre principale signifie que l'on divise tout le numérateur $\dfrac34-\dfrac12$ par le dénominateur $\dfrac25$, qui est non nul.

On calcule d'abord la différence au numérateur, puis on multiplie par l'inverse du dénominateur.

\begin{aligned}D&=\left(\frac34-\frac12\right)\div\frac25\\ &=\left(\frac34-\frac24\right)\div\frac25\\ &=\frac14\times\frac52\\ &=\frac58.\end{aligned}

La réécriture avec $\div$ rend visible l'opération finale et conserve le regroupement du numérateur.