CoursQuatrième
Puissances d'exposant positif
Comprendre une puissance
Pour un nombre $a$ et un entier $n>0$, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. $a$ est la base et $n$ l’exposant. $a^1=a$ ; $a^2$ se lit « au carré » et $a^3$ « au cube ».
Une base strictement positive donne une puissance positive ; $0^n=0$. Pour une base négative, le résultat est positif si $n$ est pair et négatif si $n$ est impair. Les parenthèses font partie de la base :
Dans un calcul, traiter les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, calculer de gauche à droite.
Voir un exemple — Une puissance dont la base est une fraction
La base peut être une fraction :
Multiplier des puissances
Pour tous nombres $a,b$ et tous entiers $m,n>0$ :
Même base : ajouter les exposants. Même exposant : multiplier les bases. Si aucune de ces conditions n’est remplie, calculer directement.
Ces règles concernent des produits : $2^2+2^3=12$, et non $2^5$.
Comprendre pourquoi — Compter puis regrouper les facteurs
Comprendre la justification
Les produits $a^m$ et $a^n$ réunissent $m+n$ facteurs égaux à $a$. Pour des entiers $m,n>0$, leur produit est donc $a^{m+n}$, même si $a=0$.
Comprendre la justification
Pour un entier $n>0$, on regroupe les $n$ facteurs $a$ et les $n$ facteurs $b$ en $n$ paires $a\times b$. On obtient $(ab)^n$, quels que soient les signes de $a$ et $b$.
Carrés usuels et puissances de dix
Un carré parfait est le carré d’un entier. Les carrés de 0 à 12 sont :
Pour un entier $n>0$, $10^n$ s’écrit avec 1 suivi de $n$ zéros. Ainsi $10^2=100$ et $10^3=1\,000$. Autres valeurs utiles : $2^3=8$ et $3^3=27$.
Multiplier ou diviser par 10, 100 ou 1 000 change la valeur de position des chiffres : $4{,}27\times100=427$ et $427\div100=4{,}27$.