Racine carrée : cours de maths · Quatrième

Définir la racine carrée

Pour $a\ge0$, la racine carrée $\sqrt a$ est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ :

(\sqrt a)^2=a,\qquad\sqrt0=0,\qquad\sqrt{64}=8\quad\text{et non }-8.

Un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée dans ce cadre. Les carrés des entiers de 0 à 12 servent à reconnaître les racines exactes ; par exemple $11^2=121$, donc $\sqrt{121}=11$.

Un carré d’aire $15\ \mathrm{cm}^2$ a un côté de longueur $\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$.

Le carré a une aire de $15\ \mathrm{cm}^2$ et un côté de longueur $\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$.

Calculer d’abord ce qui est sous le radical : $\sqrt{36+64}=10$, alors que $\sqrt{36}+\sqrt{64}=14$.

Voir un exemple — Reconnaître une racine carrée fractionnaire

Comme $\frac34\geqslant0$ et $\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}$, on a :

\sqrt{\frac9{16}}=\frac34.

Encadrer une racine

Sur les nombres positifs ou nuls, le carré conserve l’ordre. Pour encadrer une racine d’entier, repérer deux carrés consécutifs qui entourent cet entier :

m^2\le N<(m+1)^2\quad\Longrightarrow\quad m\le\sqrt N<m+1\qquad(N,m\text{ entiers},\ N,m\ge0).

49<58<64\quad\Longrightarrow\quad7<\sqrt{58}<8.

Si le nombre est un carré exact, garder l’égalité : $8\le\sqrt{64}<9$. Un encadrement entier situe la racine sans donner une position plus précise.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le carré conserve l’ordre positif

Comprendre la justification

Si $0\leqslant x<y$, alors $y>0$ et $x^2\leqslant xy<y^2$. Le carré conserve donc l'ordre sur les nombres positifs ou nuls. Cette règle ne s'applique pas à deux nombres négatifs.

Valeur exacte et approximation

$\sqrt{70}$ est une valeur exacte. La calculatrice peut donner une approximation : $\sqrt{70}\approx8{,}37$, mais $\sqrt{70}\ne8{,}37$. Utiliser $=$ pour l’exact et $\approx$ pour l’approché.