Calcul littéral : développer, réduire, factoriser et démontrer : cours de maths · Quatrième

Lire et calculer une expression

Une expression littérale contient des lettres représentant des nombres. Une formule relie des grandeurs. $4x+7$ est une somme ; $4(x+7)$ est un produit. Les termes appartiennent à une somme, les facteurs à un produit.

$3x=3\times x$, $1x=x$, $x\times x=x^2$. Double : $2x$ ; triple : $3x$ ; moitié : $\frac x2$ ; carré : $x^2$. Pour un entier $n$, prédécesseur : $n-1$ ; successeur : $n+1$.

Pour calculer une valeur, remplacer chaque occurrence d’une lettre par le même nombre, avec des parenthèses si nécessaire, puis respecter les priorités. Toutes les divisions doivent être définies.

3x^2-2x+1=3\times(-2)^2-2\times(-2)+1=17\quad\text{pour }x=-2.

Un programme de calcul se traduit en conservant l’ordre : ajouter 3, multiplier par 4, puis retirer le départ donne $4(x+3)-x$.

Voir un exemple — Évaluer avec une valeur fractionnaire

Remplacer par une fraction

On évalue $B=(x-1)\div\dfrac23$ pour $x=-\dfrac13$. Le diviseur $\dfrac23$ est non nul ; diviser par cette fraction revient à multiplier par son inverse :

\begin{aligned} B&=\left(-\dfrac13-1\right)\div\dfrac23\\ &=-\dfrac43\times\dfrac32\\ &=-2. \end{aligned}

Réduire une somme

Regrouper les termes de même nature. Dans $ax$, $a$ est le coefficient de $x$ ; pour $x$ et $-x$, il vaut 1 et $-1$. Pour tous $a,b,x$ : $ax+bx=(a+b)x$.

6x+8-2x-11=4x-3,\qquad3x+2x=5x,\qquad(3x)(2x)=6x^2.

$4x+3$ ne se réduit pas en $7x$ : un terme en $x$ et une constante sont de nature différente.

Comprendre pourquoi — Réduire grâce à la distributivité

Comprendre la justification

La distributivité, utilisée dans l'autre sens, donne $ax+bx=(a+b)x$. On additionne les coefficients, sans changer la lettre. La règle vaut aussi pour des coefficients négatifs ou nuls.

Développer ou factoriser

Développer transforme un produit en somme ou différence. Factoriser fait l’inverse en repérant un facteur commun. La distributivité simple vaut pour tous nombres :

k(a+b)=ka+kb,\qquad k(a-b)=ka-kb.

Pour des longueurs positives, l'aire totale est la somme des deux aires.

La figure illustre des longueurs positives ; les égalités restent vraies quels que soient les signes.

-3(2x-5)=-6x+15,\qquad8x+20=4(2x+5).

Un signe plus devant une parenthèse laisse les termes inchangés ; un signe moins remplace chaque terme par son opposé :

-(a+b)=-a-b,\qquad-(a-b)=-a+b.

Développer le produit obtenu permet de contrôler une factorisation.

Voir un exemple — Distribuer le signe moins à tous les termes

Conserver la portée du signe moins

\begin{aligned} 13-(2x-4)&=13-2x+4\\ &=17-2x. \end{aligned}

Le $-4$ situé dans les parenthèses devient $+4$.

Tests et justification générale

Une conjecture est une affirmation que l’on pense vraie. Quelques tests réussis ne prouvent pas qu’elle vaut toujours ; un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale.

Par exemple, $x^2=2x$ réussit pour 0 et 2, mais échoue pour 3 : $9\ne6$.

Pour justifier une propriété générale par le calcul littéral, préciser les valeurs autorisées de la lettre et utiliser des égalités vraies pour toutes ces valeurs.

Exemple court : pour un entier $n$, deux impairs consécutifs s’écrivent $2n+1$ et $2n+3$. Leur somme est $4(n+1)$, un multiple de 4.