Équations du premier degré et mise en équation : cours de maths · Quatrième

Équation et solution

Une équation est une égalité contenant une inconnue. Ses deux expressions sont les membres. Une solution est une valeur autorisée de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre consiste à déterminer toutes les solutions.

Pour tester une valeur, la remplacer dans chacun des deux membres, calculer séparément puis comparer. Dans $3x+2=14$, $x=4$ convient car $3\times4+2=14$ ; $x=3$ ne convient pas, car $11\ne14$.

Conserver les solutions

Deux équations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions. On garde les mêmes valeurs autorisées et des expressions définies. On peut ajouter ou soustraire une même quantité aux deux membres ; les multiplier ou diviser par un même nombre fixé non nul ; développer ou réduire un membre.

Chaque transformation peut être annulée. Multiplier par zéro perd de l’information ; diviser par zéro est impossible.

x-7=-3\quad\Longleftrightarrow\quad x=4.

Comprendre pourquoi — Des opérations que l’on peut annuler

Comprendre la justification

Chaque opération autorisée peut être annulée : une addition par une soustraction, une multiplication par une division par le même nombre non nul. On conserve donc exactement les solutions. Multiplier par zéro efface l'information ; diviser par zéro est impossible.

Voir un exemple — Diviser les deux membres par un nombre négatif

Résoudre $-5x=12$

On divise les deux membres par $-5$, qui est non nul :

\begin{aligned} \dfrac{-5x}{-5}&=\dfrac{12}{-5}\\ x&=-\dfrac{12}{5}. \end{aligned}

La solution est $-\dfrac{12}{5}$, soit exactement $-2{,}4$.

La vérification donne :

(-5)\times\left(-\dfrac{12}{5}\right)=12.

Isoler l’inconnue

Pour $a\ne0$, résoudre $ax+b=c$ : soustraire $b$, puis diviser par $a$. Il y a une seule solution :

x=\frac{c-b}{a},\qquad-4x+5=14\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac94.

Avec des parenthèses ou une inconnue dans les deux membres, développer puis regrouper les termes en inconnue dans un membre et les constantes dans l’autre :

3(x+2)=2x+15\quad\Longleftrightarrow\quad x+6=15\quad\Longleftrightarrow\quad x=9.

Vérifier dans l’équation initiale. Si les termes en inconnue s’annulent, examiner l’égalité restante : vraie, elle convient à toutes les valeurs autorisées ; fausse, elle ne donne aucune solution.

Garder une solution exacte

Pour $3x+1=8$, la solution exacte est $x=\frac73$. On peut écrire $\frac73\approx2{,}33$, mais $2{,}33$ n’est pas une solution exacte : $3\times2{,}33+1=7{,}99\ne8$.