CoursQuatrième
Grandeurs quotient, ratios et quatrième proportionnelle
Rapport et ratio
Le rapport de $a$ à $b$, avec $b\ne0$, est $\frac ab$. Le deuxième nombre est la référence. Si $a\ne0$, inverser l’ordre remplace le rapport par son inverse. Pour deux grandeurs de même nature, les exprimer dans la même unité.
Pour $a,b,m,n>0$, le ratio $m:n$ signifie que $a,b$ correspondent à $m,n$ parts de même valeur, dans cet ordre :
12 triangles et 21 carrés donnent le ratio $4:7$ et le rapport $\frac47$. La proportion de triangles dans le total vaut $\frac4{11}$, car il y a $4+7$ parts.
Proportionnalité et valeur manquante
Deux grandeurs sont proportionnelles si $v=ku$ avec un même coefficient $k$ pour toutes les valeurs. Pour $u\ne0$, vérifier que tous les rapports $\frac vu$ sont égaux ; pour $u=0$, vérifier directement $v=0$.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux couples de valeurs correspondantes, ou multiplier les deux valeurs d’un couple par le même nombre. Les valeurs obtenues doivent rester possibles dans le contexte.
Dans le tableau ci-dessous, établi proportionnel, avec $a,b,c>0$, la quatrième proportionnelle est $x=\frac{bc}{a}$. Ne pas utiliser cette règle avant d’avoir établi la proportionnalité.
| Première grandeur | Seconde grandeur |
|---|---|
| $a$ | $c$ |
| $b$ | $x$ |
Comprendre pourquoi — Pourquoi les produits en croix suffisent
Comprendre la justification
Pour $b\ne0$ et $d\ne0$, multiplier $\dfrac ab=\dfrac cd$ par $bd$ donne $ad=bc$. Diviser par $bd$ permet le retour : les deux conditions sont équivalentes.
Voir un exemple — Contrôler une égalité par produits en croix
Contrôler une égalité de fractions
Les dénominateurs 28 et 4 sont non nuls. Comme $21\times4=84$ et $28\times3=84$, les produits en croix sont égaux. Donc :
Grandeurs quotients et unités
Une grandeur quotient est une grandeur divisée par une autre, non nulle. Son unité dépend des unités choisies ; le rapport de deux grandeurs de même nature dans la même unité est sans unité.
Vitesse moyenne : $v=\frac dt$ pour une durée $t>0$. Convertir la durée avant de calculer : $1\ \mathrm h\ 30\ \mathrm{min}=1{,}5\ \mathrm h$, donc $\frac{36}{1{,}5}=24$ kilomètres par heure. La vitesse réelle n’a pas besoin d’être constante.
Échelle : $\frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$, avec les deux longueurs dans la même unité ; ce rapport est sans unité.