Translations et parallélogrammes

Comprendre le glissement

Une translation fait subir le même glissement à tous les points : même direction, même sens et même distance, sans rotation ni déformation. La figure obtenue est son image.

Elle conserve les longueurs et les mesures d’angles. Pour construire l’image d’un segment ou d’un triangle, construire ses sommets puis les relier. L’image d’une droite est parallèle à celle-ci, ou confondue avec elle.

Sur un quadrillage, un déplacement de 3 unités vers la droite ajoute 3 à l’abscisse : $-4$ devient $-1$.

Relier translation et parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses côtés opposés ont la même longueur ; ses diagonales se coupent en leur milieu. Inversement, un quadrilatère non aplati dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.

Pour $A,B,M$ non alignés, si le glissement de $A$ vers $B$ envoie $M$ sur $N$, le quadrilatère $ABNM$, dans cet ordre, est un parallélogramme. La réciproque permet de construire l’image.

Tracer par $M$ la parallèle à $(AB)$ et par $B$ la parallèle à $(AM)$ : leur intersection est $N$. Si $M$ est sur $(AB)$, reproduire le déplacement sur cette droite ; le quadrilatère est alors aplati.

Des côtés parallèles donnent des angles alternes-internes ou correspondants égaux lorsqu’ils sont coupés par une sécante. Une mesure sur le dessin ne suffit pas à justifier l’égalité.

Voir un exemple — Déduire un angle du parallélisme

Un angle dans le parallélogramme

Dans $ABNM$, $(AB)\parallel(MN)$ et $(BM)$ est une sécante. Les angles $\widehat{ABM}$ et $\widehat{BMN}$ sont alternes-internes. Si le premier vaut $32^\circ$, le second vaut aussi $32^\circ$ : l'égalité vient du parallélisme, pas d'une mesure sur le dessin.

Reconnaître les cas particuliers

Commencer par établir que le quadrilatère est un parallélogramme. Si ses diagonales ont la même longueur, c’est un rectangle ; si elles sont perpendiculaires, c’est un losange ; si elles réunissent les deux propriétés, c’est un carré.

Des diagonales égales, sans la condition de parallélogramme, ne suffisent pas pour reconnaître un rectangle.

Voir un exemple — Reconnaître un losange puis exclure le carré

Lire toutes les informations d'un codage

Les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires ; elles mesurent 6 cm et 8 cm. Le milieu commun prouve d'abord qu'il s'agit d'un parallélogramme. La perpendicularité permet ensuite de reconnaître un losange.

Ce n'est pas un carré : dans un carré, qui est aussi un rectangle, les diagonales ont la même longueur. Si les deux diagonales mesuraient 8 cm avec les mêmes codages de milieu et d'angle droit, le quadrilatère serait un carré.

Rappeler les deux symétries

Une symétrie axiale correspond à un pliage : pour un point extérieur à l’axe, celui-ci est la médiatrice du segment joignant le point à son image. Les points de l’axe restent fixes.

Un demi-tour de centre $O$ envoie $P$ sur $P'$ de sorte que $O$ soit le milieu de $[PP']$. Le centre reste fixe. Un demi-tour et une translation sont des transformations différentes.