Droite des milieux dans un triangle

Deux milieux donnent deux conclusions

Dans un triangle $ABC$ non aplati, $I$ est le milieu de $[AB]$ si $I\in[AB]$ et $AI=IB$. La droite $(IJ)$ est distincte du segment $[IJ]$.

Si $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, deux théorèmes donnent :

Par exemple, si le troisième côté mesure $9{,}6$ cm, le segment des milieux mesure $4{,}8$ cm. Vérifier les deux hypothèses de milieu avant de conclure.

Un milieu et une parallèle

Dans le triangle $ABC$, si $I$ est le milieu de $[AB]$, la parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $[AC]$ en son milieu $J$ : $AJ=JC$.

Un seul milieu sans parallélisme ne permet pas de conclure. Le second milieu est ici une conclusion, pas une donnée.

Voir un exemple — Démontrer le second milieu avant de calculer

Démontrer un milieu avant de calculer

Dans le triangle $RST$, $RS=7$ cm, $RT=10{,}4$ cm et $ST=8{,}2$ cm. $M$ est le milieu de $[RS]$ et la parallèle à $(ST)$ par $M$ coupe $[RT]$ en $N$. Le théorème du milieu et de la parallèle montre que $N$ est le milieu de $[RT]$ ; ce n'est pas une donnée du schéma.

On peut alors calculer $RN=\dfrac{RT}{2}=5{,}2$ cm. Puisque $M$ et $N$ sont deux milieux, $MN=\dfrac{ST}{2}=4{,}1$ cm.

Reconnaître les droites remarquables

Une médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Une médiatrice est perpendiculaire à un segment en son milieu. Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire à la droite du côté opposé ; son pied peut être hors du segment. Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux.

Dans un triangle isocèle, la droite joignant le sommet principal au milieu de la base réunit ces quatre rôles. Dans un triangle équilatéral, ce résultat vaut aux trois sommets. Les codages, plutôt que l’allure du dessin, permettent d’identifier les droites.