Théorème de Pythagore et cercle du triangle rectangle

Calculer dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus long côté. Exprimer toutes les longueurs dans la même unité.

Si $ABC$ est rectangle en $A$, le théorème de Pythagore donne :

Pour une longueur inconnue, calculer son carré puis prendre la racine carrée positive. Pour un côté de l’angle droit inconnu, soustraire le carré de l’autre côté de l’angle droit du carré de l’hypoténuse ; ne pas les additionner.

Comprendre pourquoi — Comparer les aires pour comprendre Pythagore

Dans un triangle rectangle, $a$ et $b$ sont les longueurs des côtés de l’angle droit et $c$ celle de l’hypoténuse.

Dans le carré de côté $a+b$, avec $a,b>0$, les quatre triangles rectangles entourent un carré de côté $c$. Son aire totale vaut donc $c^2+2ab$. En développant l'aire $(a+b)^2$, on obtient $a^2+2ab+b^2$. Retirer $2ab$ donne $a^2+b^2=c^2$.

Tester si un triangle est rectangle

Dans un triangle non aplati, choisir le plus grand côté, par exemple $[BC]$, puis comparer exactement $BC^2$ et $AB^2+AC^2$.

Réciproque : si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté. Contraposée : s’ils sont différents, le triangle n’est rectangle à aucun sommet.

Le théorème part d’un angle droit connu ; la réciproque permet de l’établir. Une égalité entre arrondis ne prouve pas une égalité exacte ; quelques tests ne prouvent pas une affirmation générale.

Cercle du triangle rectangle

Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle. Si $ABC$ est rectangle en $A$, son centre est le milieu $I$ de l’hypoténuse $[BC]$ et son rayon vaut $\frac{BC}{2}$. L’hypoténuse est un diamètre.

Inversement, si $B\ne C$ et si $A$ est sur le cercle de diamètre $[BC]$, avec $A$ distinct de $B$ et de $C$, alors $ABC$ est rectangle en $A$.

Exemple : avec des côtés de l’angle droit de 6 et 8 cm, l’hypoténuse vaut $\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm ; le rayon du cercle vaut 5 cm. Trois points sur un cercle ne suffisent pas : un côté doit être un diamètre.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle

Comprendre la justification

Dans le triangle rectangle en $A$, prends $J$ milieu de $[AB]$. La droite $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$, donc perpendiculaire à $(AB)$ : c'est sa médiatrice. Ainsi $IA=IB$. Comme $I$ est le milieu de l'hypoténuse, $IB=IC=\dfrac{BC}{2}$ : le cercle de centre $I$ passe par les trois sommets.

Construire un rectangle sans équerre

Tracer un cercle et deux diamètres distincts $[AC]$ et $[BD]$, puis relier leurs extrémités dans l’ordre du cercle. Chaque angle intercepte un diamètre : les quatre angles sont droits, donc $ABCD$ est un rectangle.