CoursQuatrième
Statistiques : moyenne pondérée, médiane et étendue
Lire les données
Les données brutes sont les valeurs relevées, avec leurs répétitions. L’effectif $n$ d’une valeur est son nombre d’apparitions ; l’effectif total $N$ compte toutes les données. Pour $N>0$, sa fréquence vaut $f=\frac nN$, entre 0 et 1 ; le pourcentage vaut $100f$ %.
Sur un diagramme en barres, distinguer la valeur étudiée et son effectif. Vérifier les axes, les graduations et les unités ; un axe coupé peut exagérer visuellement les écarts.
Ici la barre d’abscisse 2 et de hauteur 4 signifie que quatre participants ont réparé deux objets. Dans un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur vaut $360^\circ\times f$ ; le disque représente le total.
Calculer une moyenne
La moyenne d’une série numérique non vide est la somme de toutes les valeurs divisée par l’effectif total. Si les valeurs sont regroupées, multiplier chacune par son effectif :
Ne pas diviser par le nombre de valeurs différentes : chaque répétition compte. Les effectifs 1, 3, 4, 2 des valeurs 0, 1, 2, 3 donnent :
La moyenne n’est pas nécessairement une valeur observée.
Comprendre pourquoi — Pourquoi pondérer par les effectifs
Comprendre la justification
Si une valeur $x$ apparaît $n$ fois, elle contribue $nx$ à la somme. Regrouper les valeurs égales conserve la somme et le nombre de données. On divise donc par le même total strictement positif pour obtenir la moyenne.
Déterminer une médiane
Ranger la série non vide dans l’ordre croissant, en gardant les répétitions. Une médiane est une valeur telle qu’au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié supérieures ou égales.
Effectif impair : prendre la valeur centrale. Effectif pair : toute valeur entre les deux données centrales, bornes comprises, est une médiane. Si ces deux données sont égales, la médiane est unique.
Pour 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, toute valeur de 7 à 9 convient. Choisir 8 est possible, sans en faire l’unique médiane.
Voir un exemple — Une médiane impaire avec des répétitions
On considère les sept valeurs :
La liste ordonnée est :
L’effectif 7 est impair. La quatrième donnée est centrale : la médiane vaut 7.
Il y a cinq données inférieures ou égales à 7 et quatre supérieures ou égales à 7 : chaque comptage atteint au moins la moitié des sept données. Les deux occurrences de 7 comptent dans les deux groupes ; on conserve toutes les répétitions.
Calculer l’étendue
L’étendue mesure l’écart entre les extrêmes dans l’unité des données. Une valeur d’effectif nul n’est pas observée. Sur un diagramme, utiliser les valeurs étudiées, pas les hauteurs des barres.
Comparer et comprendre les extrêmes
La moyenne utilise toutes les valeurs ; la médiane dépend des positions centrales ; l’étendue dépend des extrêmes. Deux séries peuvent avoir même moyenne et même médiane mais des étendues différentes.
Exemple : 6, 7, 8, 9, 10 ont moyenne et médiane 8, étendue 4. Ajouter 40 donne une moyenne $\frac{80}{6}\approx13{,}33$, des médianes de 8 à 9 et une étendue de 34. La médiane ne reste donc pas toujours inchangée.
Choisir l’indicateur adapté à la question. Un écart observé ne suffit pas à établir sa cause.
Voir un exemple — Même moyenne et médiane, étendues différentes
Les séries $4,5,6,7,8$ et $0,5,6,7,12$ ont la même moyenne et la même médiane : 6. Leurs étendues valent pourtant 4 et 12. La première série a les extrêmes les moins éloignés.