Probabilités : événements, ensembles et expériences à deux épreuves : cours de maths · Quatrième

Décrire les événements

Une expérience aléatoire a des résultats possibles connus, sans résultat certain à l’avance. Chaque résultat est une issue. Un événement est un ensemble d’issues ; il se réalise si l’issue obtenue lui appartient. $E$ contient toutes les issues ; $\varnothing$ est l’événement impossible.

$A\cap B$ : « A et B ». $A\cup B$ : « A ou B », éventuellement les deux, sans compter une issue deux fois. Le contraire $\overline A$ contient toutes les issues de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Pour les numéros de 1 à 8, si $A$ signifie « pair » et $B$ « strictement supérieur à 5 », alors $A\cap B=\{6;8\}$ et $\overline A=\{1;3;5;7\}$.

Dans le sac numéroté de 1 à 8, $A$ signifie « pair » et $B$ signifie « strictement supérieur à 5 ». La zone commune contient 6 et 8.

Deux événements sans issue commune sont incompatibles ; ils ne sont contraires que s’ils couvrent ensemble toutes les issues. Le contraire de « supérieur à 5 » inclut 5.

Voir un exemple — Des événements incompatibles qui ne sont pas contraires

Incompatibles n'est pas contraires

Sur les issues $1$ à $8$, $G=\{3;6\}$ et $H=\{1;5;7\}$ n'ont aucune issue commune : ils sont incompatibles. Mais $H$ n'est pas le contraire de $G$, car les issues $2$, $4$ et $8$ n'appartiennent à aucun des deux. Le contraire de $G$ contient toutes les issues sauf $3$ et $6$.

Calculer une probabilité

Les probabilités des issues sont entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. $P(A)$ est la somme des probabilités des issues de $A$ :

0\le P(A)\le1,\qquad P(E)=1,\qquad P(\varnothing)=0.

En équiprobabilité, les $n\ge1$ issues ont la même probabilité. Si $k$ réalisent $A$, avec $0\le k\le n$, alors $P(A)=\frac kn$. Annoncer cette hypothèse avant de compter ; des couleurs différentes ne sont pas forcément équiprobables.

Trois jetons noirs et un blanc, individuellement équiprobables, donnent $P(\text{noir})=\frac34$, et non $\frac12$.

P(\overline A)=1-P(A).

La règle du contraire reste vraie sans équiprobabilité. Une probabilité n’est pas une garantie pour un tirage isolé.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les probabilités des contraires font 1

Comprendre la justification

Chaque issue appartient à $A$ ou à son contraire, jamais aux deux. Les deux événements couvrent toutes les issues : leurs probabilités ont une somme de 1. Cette règle ne nécessite pas l'équiprobabilité.

Deux épreuves successives

Une issue indique les deux résultats dans l’ordre : $(1;2)$ et $(2;1)$ sont différentes. Avec les jetons 1, 2, 3 tirés deux fois sans remise, il y a six couples :

(1;2),\ (1;3),\ (2;1),\ (2;3),\ (3;1),\ (3;2).

Sous l’hypothèse que ces couples sont équiprobables, la somme vaut 4 dans deux cas : $(1;3)$ et $(3;1)$. Sa probabilité vaut donc $\frac26=\frac13$. Sans remise, un même jeton ne peut apparaître deux fois.

Fréquence et probabilité

Après $N>0$ expériences, si $A$ s’est réalisé $k$ fois avec $0\le k\le N$, sa fréquence observée est $\frac kN$, et son pourcentage $100\frac kN$ %. Zéro réalisation donne 0 %, et $N$ réalisations donnent 100 %.

La fréquence vient des observations ; la probabilité appartient au modèle choisi. Pour un même nombre d’essais, les fréquences peuvent changer d’une série à l’autre : c’est la fluctuation.

Pour chaque numéro, la barre de gauche représente S et celle de droite T, deux séries de 40 tirages. La ligne horizontale représente la probabilité 0,25 du modèle ; les barres donnent les fréquences des deux séries.

Dans les deux séries de 40 essais représentées, le numéro 1 a des fréquences 0,20 et 0,30, alors que la probabilité choisie est 0,25. Ces écarts ne rendent pas automatiquement le modèle faux.