Puissances d’exposant entier et notation scientifique : cours de maths · Troisième

Comprendre les exposants

Pour $n\ge1$ entier, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. $a$ est la base et $n$ l’exposant. En particulier, $a^1=a$ et $0^n=0$.

Une base positive donne une puissance positive. Pour une base négative, un exposant pair donne un résultat positif, un exposant impair un résultat négatif. Attention : $(-3)^2=9$, mais $-3^2=-9$.

a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(a\ne0,\ n\ge1).

Un exposant négatif indique un inverse : $4^{-2}=\frac{1}{16}$. La puissance a le même signe que $a^n$. Les écritures $0^0$ et $0^{-n}$ ne sont pas définies ici.

Voir un exemple — Un exposant négatif sur une fraction

\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{9}}=\frac{9}{4}.

L’exposant négatif indique un inverse ; il ne rend pas le résultat négatif.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la parité change le signe

Comprendre la règle

Groupe les facteurs négatifs par paires : leur produit est positif. Un exposant pair n’en laisse aucun ; un exposant impair laisse un facteur négatif. Une base nulle donne zéro pour tout exposant strictement positif.

Les règles de calcul

Pour $a,b\ne0$ et des exposants entiers :

a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad a^n b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n.

Avec des exposants strictement positifs, les produits autorisent une base nulle ; un quotient exige toujours un dénominateur non nul. Ces règles ne s’appliquent pas aux sommes.

\frac{7^{-2}}{7^{-5}}=7^{-2-(-5)}=7^3=343.

Écrire en notation scientifique

Pour $N\ne0$, la notation scientifique est $N=a\times10^n$, avec $n$ entier et $1\le|a|<10$. $|a|$ est la distance de $a$ à zéro. Le coefficient garde le signe de $N$ ; zéro se note simplement $0$.

$10^{-3}=0{,}001$. Pour normaliser, divise le coefficient par $10$ et augmente l’exposant de $1$, ou fais l’opération inverse : la valeur doit rester la même.

47{,}5\times10^{-3}=4{,}75\times10^{-2},\qquad -0{,}032=-3{,}2\times10^{-2}.

Pour un nombre positif normalisé, $10^n\le N<10^{n+1}$ : cet encadrement aide à contrôler le résultat. Pour comparer deux nombres, tiens compte de la puissance de dix et du signe, pas seulement du coefficient.

Comprendre pourquoi — Pourquoi déplacer la virgule exige une compensation

Pour un nombre $a$ et un entier $n$, les règles des puissances de dix donnent :

\frac{a}{10}\times10^{n+1}=\frac{a}{10}\times10\times10^n=a\times10^n,

(10a)\times10^{n-1}=a\times(10\times10^{n-1})=a\times10^n.

Chaque changement est compensé par le facteur inverse : la valeur et son signe sont conservés.