Racines carrées, fonction carré et équations x² = a : cours de maths · Troisième

Carré et racine carrée

$x^2=x\times x$ est toujours positif ou nul ; il vaut zéro seulement pour $x=0$. Deux nombres opposés ont le même carré. Les carrés des entiers de $0$ à $12$ sont :

Entiers	Carrés
$0,1,2,3,4,5,6$	$0,1,4,9,16,25,36$
$7,8,9,10,11,12$	$49,64,81,100,121,144$

Pour $a\ge0$, $\sqrt{a}$ est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$. $\sqrt{0}=0$ ; un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle. Ainsi $\sqrt{121}=11$, jamais $-11$.

$\sqrt{x^2}=x$ si $x\ge0$, et $\sqrt{x^2}=-x$ si $x<0$. Par exemple, $\sqrt{(-5)^2}=5$.

Pour comparer des nombres positifs ou nuls, compare leurs carrés. Comme $4^2<20<5^2$, on a $4<\sqrt{20}<5$. $\sqrt{20}$ est exact ; $4{,}47$ en est une approximation.

Voir un exemple — Vérifier la racine d’une fraction

Le quotient $\frac{7}{5}$ est positif et son carré vaut :

\left(\frac{7}{5}\right)^2=\frac{7}{5}\times\frac{7}{5}=\frac{49}{25}.

Donc $\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$. Cette écriture est exacte.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la racine du carré change selon le signe

Si $x\geqslant0$, le nombre $x$ est positif ou nul et son carré vaut $x^2$. L’unicité du nombre positif ou nul de carré donné permet donc de conclure que $\sqrt{x^2}=x$. Le cas $x=0$ est inclus.

Si $x<0$, alors $-x>0$. La propriété des carrés de nombres opposés donne $(-x)^2=x^2$. Par la même unicité, $\sqrt{x^2}=-x$. Dans les deux cas, le résultat obtenu est positif ou nul, comme l’impose la définition.

Résoudre une équation x² = a

Valeur de $a$	Solutions réelles de $x^2=a$
$a<0$	Aucune.
$a=0$	$x=0$.
$a>0$	$x=-\sqrt{a}$ ou $x=\sqrt{a}$.

Calculer $\sqrt{64}$ donne $8$. Résoudre $x^2=64$ donne deux solutions : $-8$ et $8$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi x² = a a zéro, une ou deux solutions

On cherche les solutions réelles de $x^2=a$. Si $a<0$, aucune solution n’est possible : un carré est positif ou nul. Si $a=0$, seul $x=0$ convient.

Si $a>0$, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ sont deux solutions distinctes. Toute solution positive doit être $\sqrt{a}$ par unicité de la racine positive. Pour une solution négative $x$, le nombre $-x>0$ a le même carré : $-x=\sqrt{a}$, donc $x=-\sqrt{a}$.

La fonction carré et sa courbe

La fonction carré associe à $x$ l’image $x^2$ : $c(x)=x^2$. Un antécédent de $a$ est une solution de $x^2=a$. Par exemple, l’image de $-2$ est $4$ ; les antécédents de $4$ sont $-2$ et $2$.

Pour tracer la courbe, calcule des images, place les points $(x;x^2)$ et trace une courbe régulière. Elle est symétrique par rapport à l’axe vertical, au-dessus de l’axe horizontal et le touche seulement à l’origine.

Cinq points d’intersection repérés : deux pour y=4, deux pour y=2 et l’origine pour y=0. Les guides verticaux relient les quatre points hors de l’origine à leurs abscisses. Aucun point commun avec y=−1 ; la lecture de la racine de deux reste approchée sur ce dessin.

Pour résoudre graphiquement $x^2=a$, lis les abscisses des intersections avec l’horizontale $y=a$. Pour $a=2$, on lit environ $-1{,}4$ et $1{,}4$ ; le calcul donne exactement $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$. La précision dépend du graphique.