Calcul littéral : produits, quotients et double distributivité : cours de maths · Troisième

Lire et calculer une expression

Une expression littérale contient des lettres représentant des nombres. Les éléments d’une somme sont ses termes ; ceux d’un produit sont ses facteurs. $4x+6$ est une somme, $4(x+6)$ un produit.

$5x$ signifie $5\times x$ ; $x\times x=x^2$, $1x=x$, $(-1)x=-x$ et $0x=0$. Dans un produit, regroupe les nombres et les puissances d’une même lettre. Pour calculer une valeur, remplace chaque lettre par le nombre donné, avec des parenthèses s’il est négatif.

Un quotient exige un dénominateur non nul : $\frac{4x+6}{x-3}$ existe seulement pour $x\ne3$.

Voir un exemple — Regrouper les facteurs d’un produit

Regrouper les facteurs

Dans un produit, on peut changer l'ordre et le regroupement des facteurs. On regroupe les nombres, puis les puissances d'une même lettre :

\begin{aligned}(-3x)\times2x^2\times y &=(-3)\times2\times x\times x^2\times y\\ &=-6x^3y.\end{aligned}

Réduire et prendre l’opposé

Réduire une somme, c’est additionner les coefficients des termes de même partie littérale. Ne mélange pas les termes en $x$, en $x^2$ et les constantes : $4x^2-3x+2+6x-x^2-7=3x^2+3x-5$.

-(a+b)=-a-b,\qquad -(a-b)=-a+b.

Le signe moins porte sur toute la parenthèse et change le signe de chaque terme. Un signe plus les laisse inchangés. Un test numérique peut détecter une erreur, mais ne prouve pas une égalité pour toutes les valeurs.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le signe moins change chaque terme

Pour tous nombres $a$ et $b$, prendre l’opposé revient à multiplier par $-1$. La distributivité donne :

\[-(a+b)=(-1)(a+b)=-a-b,\]

\[-(a-b)=(-1)a-(-1)b=-a+b.\]

Les deux termes changent de signe, quels que soient leurs signes initiaux.

Développer et factoriser

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit. Pour tous nombres, même négatifs ou nuls :

k(a+b)=ka+kb,\qquad (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Ainsi $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$. Une addition de parenthèses n’est pas un produit.

Pour factoriser, cherche un facteur commun : $7x+21=7(x+3)$. Par regroupement, $xy+4x+3y+12=x(y+4)+3(y+4)=(x+3)(y+4)$. Développer permet de vérifier.

Simplifier un quotient

\frac{kA}{kB}=\frac{A}{B}\qquad(k\ne0,\ B\ne0).

Simplifie un facteur commun non nul, jamais un terme d’une somme. Les valeurs interdites dans le dénominateur initial restent interdites après simplification.

Pour $x\ne0$, $\frac{6x^2}{9x}=\frac{2x}{3}$. Le fait que la nouvelle écriture puisse se calculer en $0$ ne rend pas cette valeur autorisée. Le numérateur peut être nul.

Voir un exemple — Simplifier une parenthèse entière

Pour $x\ne-2$, le facteur $x+2$ est non nul. On peut le simplifier dans :

\frac{(x+2)(x-5)}{3(x+2)}=\frac{x-5}{3}.

L’expression initiale n’existe pas pour $x=-2$, même si la nouvelle écriture peut y être calculée. Cette valeur reste interdite.

Écrire un entier pair ou impair

Un entier pair s’écrit $2n$ ; un entier impair s’écrit $2n+1$, avec $n$ entier, positif, nul ou négatif. Pour deux entiers éventuellement différents, utilise deux lettres différentes.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la somme de deux impairs est paire

Soient $m$ et $n$ deux entiers, éventuellement différents. Les deux nombres impairs s’écrivent $2m+1$ et $2n+1$.

\[(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1).\]

Comme $m+n+1$ est un entier, cette somme est paire. Le raisonnement inclut les entiers négatifs.