CoursTroisième
Identités remarquables et factorisation
Les trois identités remarquables
Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées des lettres. Pour tous nombres $a$ et $b$ :
Le double produit est $2ab$. Dans le carré d’une différence, le dernier terme reste $+b^2$. Ces formules valent aussi pour des nombres négatifs ou nuls. On les lit dans un sens pour développer, dans l’autre pour factoriser.
Comprendre pourquoi — Pourquoi les produits croisés donnent les trois identités
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, la double distributivité donne :
Dans les carrés, les deux produits croisés s’additionnent. Dans le dernier produit, ils s’annulent. Le calcul vaut aussi si $a$ ou $b$ est négatif ou nul.
Développer sans oublier de terme
Repère les deux termes entiers de la parenthèse, puis calcule leurs carrés et leur double produit :
$(3x)^2$ vaut $9x^2$, pas $3x^2$. $(a-b)^2$ n’est pas $a^2-b^2$ : ce dernier résultat correspond au produit $(a-b)(a+b)$.
Voir un exemple — Développer un carré de différence
Respecter l'ordre des termes
Dans $(7-2x)^2$, on prend $a=7$ et $b=2x$.
La dernière ligne change seulement l'ordre des termes.
Reconnaître une forme à factoriser
Pour un carré parfait, repère les deux carrés et vérifie exactement le double produit central, avec son signe. Pour une différence de carrés, utilise les deux facteurs conjugués.
Un facteur commun peut être sorti d’abord : $5x^2-45=5(x^2-9)=5(x-3)(x+3)$. Développer la forme obtenue permet de contrôler la factorisation.
Voir un exemple — Reconnaître un double produit négatif
Le signe du terme central décide
Dans $9x^2-30x+25$, on reconnaît $(3x)^2$ et $5^2$. Leur double produit vaut $2\times3x\times5=30x$.
Le terme central est $-30x$, donc
Développer $(3x-5)^2$ redonne bien les trois termes initiaux.