Équations, produit nul et inéquations : cours de maths · Troisième

Résoudre une équation

Une solution rend l’égalité vraie. Résoudre, c’est trouver toutes les solutions, pas seulement tester un nombre. Deux équations équivalentes ont les mêmes solutions.

Ajoute ou soustrais la même expression définie aux deux membres ; multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul. Ne divise pas par une inconnue qui pourrait être nulle.

Équation $ax+b=c$	Solutions
$a\ne0$	$x=\frac{c-b}{a}$.
$a=0$ et $b=c$	Tous les nombres.
$a=0$ et $b\ne c$	Aucune.

Par exemple, $-3x+4=19$ donne $-3x=15$, donc $x=-5$. Vérifie dans l’égalité initiale : $-3(-5)+4=19$.

Un produit égal à zéro

AB=0\quad\Longleftrightarrow\quad A=0\ \text{ou}\ B=0.

Au moins un facteur est nul ; les deux peuvent l’être. Factorise d’abord si nécessaire :

x^2-6x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x(x-6)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{ou}\ x=6.

Diviser par $x$ ferait perdre $0$. En analyse, cherche tous les candidats à partir des conditions initiales. En synthèse, vérifie chaque candidat dans ces conditions et dans le domaine autorisé.

Comprendre pourquoi — Pourquoi un produit nul a un facteur nul

Soient $A$ et $B$ deux nombres réels. Supposons $AB=0$. Si $A=0$, un facteur est déjà nul. Si $A\ne0$, la division par $A$ donne $B=\frac{0}{A}=0$.

Réciproquement, si $A=0$ ou $B=0$, le produit $AB$ est nul. Les deux facteurs peuvent donc être nuls, mais cela n’est pas nécessaire.

Résoudre une inéquation

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. La résoudre, c’est trouver tous les nombres qui la rendent vraie. Ajouter ou soustraire un même nombre conserve le sens. Multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens ; par un nombre négatif, l’inverse. Le diviseur doit être non nul.

Inéquation $ax\ge b$	Solutions
$a>0$	$x\ge\frac{b}{a}$.
$a<0$	$x\le\frac{b}{a}$.
$a=0$ et $b\le0$	Tous les nombres.
$a=0$ et $b>0$	Aucune.

Une borne est incluse avec $\le$ ou $\ge$ (point plein) et exclue avec $<$ ou $>$ (point vide). Les solutions à gauche sont les nombres plus petits ; à droite, les nombres plus grands.

Voir un exemple — Inclure ou exclure la borne

Un coefficient positif

Dans $3x\geq12$, on divise par $3>0$ :

3x\geq12\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq4.

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $4$.

Pour $2x>8$, on divise par $2>0$ :

2x>8\quad\Longleftrightarrow\quad x>4.

Cette fois, la borne $4$ est exclue, car $8>8$ est faux.

Comprendre pourquoi — Pourquoi un nombre négatif inverse l’inégalité

Comprendre la règle

Ajouter la même valeur conserve la différence des membres. Multiplier par un nombre négatif change le signe de cette différence : le sens de l’inégalité s’inverse. Pour revenir en arrière, le multiplicateur ou diviseur doit être non nul.

Lire les solutions sur un graphique

Représente les deux membres sur le domaine étudié. Pour une équation, lis les abscisses des intersections. Pour une inéquation avec $\ge$, retiens les abscisses où le premier graphe est sur ou au-dessus du second ; avec $>$, strictement au-dessus.

Droites y égale moins deux x et y égale moins six, intersection en abscisse 3, la première au-dessus de la seconde à gauche. — La frontière $x=3$ est incluse dans $-2x\geqslant-6$.

Ici $y=-2x$ et $y=-6$ se croisent en $(3;-6)$. Le premier graphe est au-dessus ou sur le second pour $x\le3$. Donc $-2x\ge-6$ a pour solutions $x\le3$. Le calcul confirme la borne ; la précision d’une lecture dépend du dessin.